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Chapitre IX. Le cas archimédien
Proposition. Les applications Sθ
rat, ˜
G
˜
M
,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
et
c Sθ
˜
G
˜
M
se quotientent en des applications linéaires définies sur SI( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).
Cela sera prouvé en 7.3.
La proposition 2.3 de [VIII] est valable pour chacune de nos applications.
Remarques.
(1) L’application Sθ
rat, ˜
G
˜
M
peut être définie comme une application linéaire de
I( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) dans SI ac ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R)). C’est-à-dire que l’on
n’a pas besoin de supposer nos fonctions K-finies. L’application préserve
néanmoins la propriété de K-finitude, puisqu’il en est de même de θ
rat, ˜
G
˜
M
.
(2) Il résulte par récurrence des propriétés des applications θ
˜
G
˜
M
que si l’on fixe un
ensemble fini Ω de K-types, il existe un ensemble fini Ω
M de K
M -types tel que
Sθ
˜
G
˜
M
envoie I( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)) dans SI ac ( ˜
M (R), Ω
M ) ⊗ Mes(M (R)).
IX.6.2 Propriétés de l’application
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
On suppose encore (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit
˜
π ∈ D
st
temp ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
et f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).
On voit par récurrence que la fonction
X → S
˜
M (˜ π, X,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
est la transformée de Fourier d’une fonction sur iA
∗
˜
M
, laquelle se prolonge en une
fonction méromorphe sur A
∗
˜
M,C
qui vérifie les propriétés (2) à (5) de 5.2. On note
cette fonction λ → S
˜
M (˜ π, λ,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )). Pour ν ∈ A
∗
˜
M
, on définit comme en 5.10
la transformée de Fourier X → S
˜
M (˜ π, ν, X,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )). On voit par récurrence
que l’on a l’analogue suivant de la proposition 5.10.
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G et ˜
π elliptique. Soit f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).
Si chaque point ν ˜
S est assez positif relativement à ˜
S, on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)S
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0
pour tout X ∈ A ˜
M .
Comme en 5.10, si l’on fixe un ensemble fini de K-types, on peut choisir les
ν ˜
S indépendants de f et ˜
π, pourvu que f ∈ I( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)).