IX.6. Endoscopie et applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
1091
La condition imposée à C implique que Z i a au moins h + 1 éléments. Notons
Z l’ensemble des λ tels que λ i ∈ Z i pour tout i. Un élément λ de cet ensemble
convient, pourvu qu’il n’appartienne pas à H. Il s’agit de prouver que Z n’est pas
inclus dans H. Soit H un hyperplan contenu dans H. Il y a un indice i tel que
l’hyperplan vectoriel sous-jacent à H ne contienne pas la droite portée par H i .
Pour cet indice, la projection λ → (λ l ) l =i est injective sur H. Elle envoie Z ∩ H
dans
l =i Z l . Donc le nombre d’éléments de Z ∩H est au plus
l =i |Z l |, ou encore
|Z||Z i |
−1 , et ce nombre est majoré par (h + 1)
−1
|Z|. Puisqu’il y a h hyperplans,
on en déduit que Z ∩ H a au plus
h
h+1 |Z| éléments. Donc Z n’est pas contenu dans
H, ce qui prouve (12).
Appliquons (11) à un λ vérifiant (12). Pour b ∈ B
∗ et i ∈ {1, . . . , n}, on a
x b,i > 0 d’après la condition de positivité imposée à ˇ
α b,i . On a aussi Re(λ i ) > 0 par
définition de V [n]. Donc les termes y b,i +λ i x b,i et y b,i +(1−y b0,i )x b,i ont des parties
réelles de même signe. Leur différence appartient à 2Z. D’après (2), la fonction p
prend la même valeur sur ces deux termes. Puisque Re(y b,i + (1 − y b0,i )x b,i ) = x b,i ,
la définition de cette fonction entraîne p(y b,i + λ i x b,i ) = 0 si x b,i < 1. Supposons
b = b 0 . Prenons pour i le plus petit indice tel que x b,i = 1. La condition (5)
implique x b,i < 1. La contribution de b à la formule (11) est donc nulle. Par
contre, le même calcul montre que la contribution de b 0 est p(1)
n , c’est-à-dire
c b0 (−2)
−n . D’où c b0 (−2)
−n = 0, ce qui est contradictoire puisque c b0 = 0. Cela
achève la démonstration.
IX.6 Endoscopie et applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
IX.6.1 Les applications stables
Toute les constructions de cette section sont similaires à celles du cas non-archimédien. On se contentera la plupart du temps de rappeler les définitions et énoncés.
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ).
On note
p
st
˜
M
: I ac ( ˜
M (R), K
M ) ⊗ Mes(M (R)) → SI ac ( ˜
M (R), K
M ) ⊗ Mes(M (R))
la projection naturelle. Notons θ
˜
G
˜
M
l’une de nos applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
.
On définit une application linéaire
Sθ
˜
G
˜
M
: I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → SI ac ( ˜
M (R), K
M ) ⊗ Mes(M (R))
par la formule de récurrence
Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = p
st
˜
M
◦ θ
˜
G
˜
M
(f ) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))Sθ
G
(s)
M
(f
G
(s) ).
Selon ce qu’est l’application θ
˜
G
˜
M
, on notera Sθ
rat, ˜
G
˜
M
,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
,
c Sθ
˜
G
˜
M
l’application Sθ
˜
G
˜
M
.
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
1091
La condition imposée à C implique que Z i a au moins h + 1 éléments. Notons
Z l’ensemble des λ tels que λ i ∈ Z i pour tout i. Un élément λ de cet ensemble
convient, pourvu qu’il n’appartienne pas à H. Il s’agit de prouver que Z n’est pas
inclus dans H. Soit H un hyperplan contenu dans H. Il y a un indice i tel que
l’hyperplan vectoriel sous-jacent à H ne contienne pas la droite portée par H i .
Pour cet indice, la projection λ → (λ l ) l =i est injective sur H. Elle envoie Z ∩ H
dans
l =i Z l . Donc le nombre d’éléments de Z ∩H est au plus
l =i |Z l |, ou encore
|Z||Z i |
−1 , et ce nombre est majoré par (h + 1)
−1
|Z|. Puisqu’il y a h hyperplans,
on en déduit que Z ∩ H a au plus
h
h+1 |Z| éléments. Donc Z n’est pas contenu dans
H, ce qui prouve (12).
Appliquons (11) à un λ vérifiant (12). Pour b ∈ B
∗ et i ∈ {1, . . . , n}, on a
x b,i > 0 d’après la condition de positivité imposée à ˇ
α b,i . On a aussi Re(λ i ) > 0 par
définition de V [n]. Donc les termes y b,i +λ i x b,i et y b,i +(1−y b0,i )x b,i ont des parties
réelles de même signe. Leur différence appartient à 2Z. D’après (2), la fonction p
prend la même valeur sur ces deux termes. Puisque Re(y b,i + (1 − y b0,i )x b,i ) = x b,i ,
la définition de cette fonction entraîne p(y b,i + λ i x b,i ) = 0 si x b,i < 1. Supposons
b = b 0 . Prenons pour i le plus petit indice tel que x b,i = 1. La condition (5)
implique x b,i < 1. La contribution de b à la formule (11) est donc nulle. Par
contre, le même calcul montre que la contribution de b 0 est p(1)
n , c’est-à-dire
c b0 (−2)
−n . D’où c b0 (−2)
−n = 0, ce qui est contradictoire puisque c b0 = 0. Cela
achève la démonstration.
IX.6 Endoscopie et applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
IX.6.1 Les applications stables
Toute les constructions de cette section sont similaires à celles du cas non-archimédien. On se contentera la plupart du temps de rappeler les définitions et énoncés.
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ).
On note
p
st
˜
M
: I ac ( ˜
M (R), K
M ) ⊗ Mes(M (R)) → SI ac ( ˜
M (R), K
M ) ⊗ Mes(M (R))
la projection naturelle. Notons θ
˜
G
˜
M
l’une de nos applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
.
On définit une application linéaire
Sθ
˜
G
˜
M
: I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → SI ac ( ˜
M (R), K
M ) ⊗ Mes(M (R))
par la formule de récurrence
Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = p
st
˜
M
◦ θ
˜
G
˜
M
(f ) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))Sθ
G
(s)
M
(f
G
(s) ).
Selon ce qu’est l’application θ
˜
G
˜
M
, on notera Sθ
rat, ˜
G
˜
M
,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
,
c Sθ
˜
G
˜
M
l’application Sθ
˜
G
˜
M
.