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Chapitre IX. Le cas archimédien
Les relations (8) et (9) entraînent la conclusion de (7). Cela prouve cette
assertion (7).
Pour b ∈ B[n], l’ordre des indices des familles associées à b est imposé (ˇ α b,i
appartient au sous-espace engendré par H 1 , . . . , H i ). Pour un entier q ∈ {1, . . . , n+
1}, notons B[n, q] le sous-ensemble des b ∈ B[n] tels que x b,i,l = 0 pour i ≥ q et
l 훀 = i. Autrement dit, en posant simplement x b,i = x b,i,i , on a ˇ
α b,i = x b,i H i pour
i ≥ q. Montrons que
(10) pour tout λ ∈ V [n] et tout μ ∈ A
∗
˜
M,C
, on a l’égalité
b∈B[n,q]
c b
i=1,...,n
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i )
i=q,...,n
x
−1
b,i
i=1,...,q−1
μ, ˇ
α b,i
−1
= 0.
On raisonne par récurrence descendante sur q. Pour q = n + 1, c’est l’assertion (7) pour m = n. Supposons q ≤ n et l’assertion prouvée pour q + 1.
Remarquons que l’assertion à prouver ne dépend de μ que via les coordonnées
μ 1 ,. . .,μ q−1 . Puisque l’expression est méromorphe en μ, on peut se limiter au cas
où ces coordonnées sont en position générale. Considérons ces coordonnées comme
fixées et considérons la relation ci-dessus pour q + 1. Elle dépend de la coordonnée μ q que l’on considère comme variable. On regarde son résidu en μ q = 0. Les
seuls termes pouvant créer un résidu sont les μ, ˇ
α b,q
−1 pour b ∈ B[n, q + 1]. Plus
explicitement, ce terme est
i=1,...,q
μ i x b,q,i
−1
.
S’il y a un i < q tel que x b,q,i = 0, l’hypothèse que μ 1 ,. . .,μ q−1 sont en position
générale implique que le terme ci-dessus n’a pas de pôle en μ q = 0. Si x b,q,i = 0
pour tout i < q, il y a un pôle et le résidu est x
−1
b,q,q . Or la condition que x b,q,i = 0
pour tout i < q équivaut à b ∈ B[n, q]. On voit alors que l’expression à prouver
est égale au résidu en μ q = 0 de la même expression pour q + 1. Cela prouve (10).
Posons simplement B
∗ = B[n, 1]. C’est l’ensemble des b ∈ B tels que, pour
tout i, ˇ
α b,i = x b,i H i . La relation (10) pour q = 1 se récrit
(11)
b∈B ∗
c b
i=1,...,n
x
−1
b,i p(y b,i + λ i x b,i ) = 0
pour tout λ ∈ V [n]. Montrons que
(12) il existe λ ∈ V [n] tel que y b0,i + λ i ∈ 1 + 2DZ pour tout i.
Rappelons que y b0,i est imaginaire pour tout i. Pour tout i, notons Z i l’ensemble des points z ∈ C tels que y b0,i + z ∈ 1 + 2DZ et C
2i−1
≤ Re(z) ≤ C
2i .
Chapitre IX. Le cas archimédien
Les relations (8) et (9) entraînent la conclusion de (7). Cela prouve cette
assertion (7).
Pour b ∈ B[n], l’ordre des indices des familles associées à b est imposé (ˇ α b,i
appartient au sous-espace engendré par H 1 , . . . , H i ). Pour un entier q ∈ {1, . . . , n+
1}, notons B[n, q] le sous-ensemble des b ∈ B[n] tels que x b,i,l = 0 pour i ≥ q et
l 훀 = i. Autrement dit, en posant simplement x b,i = x b,i,i , on a ˇ
α b,i = x b,i H i pour
i ≥ q. Montrons que
(10) pour tout λ ∈ V [n] et tout μ ∈ A
∗
˜
M,C
, on a l’égalité
b∈B[n,q]
c b
i=1,...,n
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i )
i=q,...,n
x
−1
b,i
i=1,...,q−1
μ, ˇ
α b,i
−1
= 0.
On raisonne par récurrence descendante sur q. Pour q = n + 1, c’est l’assertion (7) pour m = n. Supposons q ≤ n et l’assertion prouvée pour q + 1.
Remarquons que l’assertion à prouver ne dépend de μ que via les coordonnées
μ 1 ,. . .,μ q−1 . Puisque l’expression est méromorphe en μ, on peut se limiter au cas
où ces coordonnées sont en position générale. Considérons ces coordonnées comme
fixées et considérons la relation ci-dessus pour q + 1. Elle dépend de la coordonnée μ q que l’on considère comme variable. On regarde son résidu en μ q = 0. Les
seuls termes pouvant créer un résidu sont les μ, ˇ
α b,q
−1 pour b ∈ B[n, q + 1]. Plus
explicitement, ce terme est
i=1,...,q
μ i x b,q,i
−1
.
S’il y a un i < q tel que x b,q,i = 0, l’hypothèse que μ 1 ,. . .,μ q−1 sont en position
générale implique que le terme ci-dessus n’a pas de pôle en μ q = 0. Si x b,q,i = 0
pour tout i < q, il y a un pôle et le résidu est x
−1
b,q,q . Or la condition que x b,q,i = 0
pour tout i < q équivaut à b ∈ B[n, q]. On voit alors que l’expression à prouver
est égale au résidu en μ q = 0 de la même expression pour q + 1. Cela prouve (10).
Posons simplement B
∗ = B[n, 1]. C’est l’ensemble des b ∈ B tels que, pour
tout i, ˇ
α b,i = x b,i H i . La relation (10) pour q = 1 se récrit
(11)
b∈B ∗
c b
i=1,...,n
x
−1
b,i p(y b,i + λ i x b,i ) = 0
pour tout λ ∈ V [n]. Montrons que
(12) il existe λ ∈ V [n] tel que y b0,i + λ i ∈ 1 + 2DZ pour tout i.
Rappelons que y b0,i est imaginaire pour tout i. Pour tout i, notons Z i l’ensemble des points z ∈ C tels que y b0,i + z ∈ 1 + 2DZ et C
2i−1
≤ Re(z) ≤ C
2i .