IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
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appartiennent à V [m − 1]. On applique l’hypothèse de récurrence à chacun d’eux
et on obtient par différence
(8)
b∈B[m−1]
c b X b (λ, λ
)
i=1,...,n
μ, ˇ
α b,i
−1 = 0,
où
X b (λ, λ
) =
i=1,...,n
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ) −
i=1,...,n
p(y b,i + λ
, ˇ
α b,i ).
Montrons que
(9) pour b ∈ B[m − 1], on a les égalités
X b (λ, λ
) =
2
i=1,...,n p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ), si b ∈ B[m],
0,
si b ∈ B[m].
Pour i ≤ m − 1, λ, ˇ
α b,i est combinaison linéaire des λ l pour l ≤ m − 1 et
remplacer λ par λ
ne change rien. Soit i ≥ m. Notons l i,max le plus grand entier
l tel que x b,i,l = 0, avec la notation de (6). On a l i,max ≥ m. On a
λ, ˇ
α b,i =
l=1,...,li,max
x b,i,l λ l .
La condition λ ∈ V [m − 1] et la condition imposée à C impliquent que
| Re(x b,i,li,max λ li,max )| >
l=1,...,li,max−1
|x b,i,l λ l |.
Donc Re(λ, ˇ
α b,i ) est du même signe que Re(x b,i,li,max λ li,max ). La même propriété
vaut avec λ remplacé par λ
. En conséquence, Re(λ, ˇ
α b,i ) et Re(λ
, ˇ
α b,i ) sont
de même signe si l i,max > m, tandis qu’ils sont de signes opposés si l i,max = m.
Par ailleurs, la condition λ
m − λ m ∈ 2DZ implique que
λ, ˇ
α b,i − −λ
, ˇ
α b,i ∈ 2Z.
D’après (2), on a donc
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ) = p(y b,i + λ
, ˇ
α b,i )
si l i,max > m tandis que
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ) = −p(y b,i + λ
, ˇ
α b,i )
si l i,max = m. Les deux produits figurant dans la définition de X b (λ, λ
) sont donc
soit égaux, soit opposés. Ils sont égaux exactement si le nombre d’indices i ≥ m
tels que l i,max = m est impair. Or il résulte des définitions que ce nombre d’indices
est au plus 1 et qu’il est égal à 1 exactement si b ∈ B[m]. Cela prouve (9).