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Chapitre IX. Le cas archimédien
on peut supposer i 1 = m. On remplace b 0 par b 1 et on voit que la propriété (5)
est alors vérifiée pour tout m
≤ m. Par récurrence, on obtient (5).
Fixons un élément b 0 ∈ B vérifiant (5). Pour i = 1, . . . , n, on pose simplement
H i = ˇ
α b0,i . La famille (H i ) i=1,...,n est une base de A ˜
M (puisqu’on a supposé
A ˜
G = {0}). On introduit les coordonnées duales sur A
∗
˜
M,C
, c’est-à-dire que l’on
note tout élément λ de cet espace sous la forme λ = (λ i ) i=1,...,n , où λ i = λ, H i .
Pour tout b ∈ B et tout i ∈ {1, . . . , n}, on peut écrire
(6)
ˇ
α b,i =
l=1,...,n
x b,i,l H l ,
avec des coefficients x b,i,l ∈ Q. On fixe un dénominateur commun D ∈ N, D =
0. On note C 1 un majorant des valeurs absolues |x b,i,l | pour tous b, i et l. Par
hypothèse, H est réunion finie d’hyperplans, on note h le nombre de ces hyperplans.
Soit C un réel tel que C > 5DnhC 1 . Pour un entier m ∈ {0, . . . , n}, notons V [m]
l’ensemble des λ ∈ A
∗
˜
M
− H tels que C
2i−1
≤ | Re(λ i )| ≤ C
2i pour tout i et
Re(λ i ) > 0 pour i ≤ m. Notons B[m] le sous-ensemble des b ∈ B tels qu’il existe
des indices i 1 , . . . , i m ∈ {1, . . . , n} tous distincts de sorte que
– ˇ
α b,i1 appartient au sous-espace de A ˜
M engendré par H 1 ;
– ˇ
α b,i2 appartient au sous-espace engendré par H 1 et H 2 ;
–
· · ·
– ˇ
α b,im appartient au sous-espace engendré par H 1 ,. . .,H m .
Ces conditions déterminent les indices et, quitte à permuter l’ensemble d’indices, on peut supposer i 1 = 1,. . ., i m = m. On va prouver par récurrence sur m
que
(7) pour tout λ ∈ V [m] et tout μ ∈ A
∗
˜
M,C
, on a l’égalité
b∈B[m]
c b
i=1,...,n
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ) μ, ˇ
α b,i
−1 = 0.
Pour m = 0, B[m] = B et l’égalité est un cas particulier de (4). Supposons
m > 0 et la relation prouvée pour m − 1. Soit λ ∈ V [m]. Les conditions imposées
à C impliquent qu’il y a au moins h + 1 points z ∈ C tels que
λ m − z ∈ 2DZ, −C
2m
≤ Re(z) ≤ −C
2m−1 .
Pour un tel point, notons λ[z] l’élément de A
∗
˜
M,C
tel que λ[z] i = λ i pour i = m et
λ[z] m = z. Montrons que l’on peut choisir z tel que λ[z] ∈ H. En effet, supposons
que tous les λ[z] appartiennent à H. Puisqu’on a au moins h + 1 points z, il y en
a au moins deux, disons z et z
, tels que λ[z] et λ[z
] appartiennent à un même
hyperplan contenu dans H. Alors λ =
z
−λm
z −z λ[z] +
z−λm
z−z λ[z
] appartient aussi à
cet hyperplan, contrairement à l’hypothèse. Cela prouve l’assertion. On choisit un
z tel que λ[z] ∈ H et on pose simplement λ
= λ[z]. Les deux éléments λ et λ
Chapitre IX. Le cas archimédien
on peut supposer i 1 = m. On remplace b 0 par b 1 et on voit que la propriété (5)
est alors vérifiée pour tout m
≤ m. Par récurrence, on obtient (5).
Fixons un élément b 0 ∈ B vérifiant (5). Pour i = 1, . . . , n, on pose simplement
H i = ˇ
α b0,i . La famille (H i ) i=1,...,n est une base de A ˜
M (puisqu’on a supposé
A ˜
G = {0}). On introduit les coordonnées duales sur A
∗
˜
M,C
, c’est-à-dire que l’on
note tout élément λ de cet espace sous la forme λ = (λ i ) i=1,...,n , où λ i = λ, H i .
Pour tout b ∈ B et tout i ∈ {1, . . . , n}, on peut écrire
(6)
ˇ
α b,i =
l=1,...,n
x b,i,l H l ,
avec des coefficients x b,i,l ∈ Q. On fixe un dénominateur commun D ∈ N, D =
0. On note C 1 un majorant des valeurs absolues |x b,i,l | pour tous b, i et l. Par
hypothèse, H est réunion finie d’hyperplans, on note h le nombre de ces hyperplans.
Soit C un réel tel que C > 5DnhC 1 . Pour un entier m ∈ {0, . . . , n}, notons V [m]
l’ensemble des λ ∈ A
∗
˜
M
− H tels que C
2i−1
≤ | Re(λ i )| ≤ C
2i pour tout i et
Re(λ i ) > 0 pour i ≤ m. Notons B[m] le sous-ensemble des b ∈ B tels qu’il existe
des indices i 1 , . . . , i m ∈ {1, . . . , n} tous distincts de sorte que
– ˇ
α b,i1 appartient au sous-espace de A ˜
M engendré par H 1 ;
– ˇ
α b,i2 appartient au sous-espace engendré par H 1 et H 2 ;
–
· · ·
– ˇ
α b,im appartient au sous-espace engendré par H 1 ,. . .,H m .
Ces conditions déterminent les indices et, quitte à permuter l’ensemble d’indices, on peut supposer i 1 = 1,. . ., i m = m. On va prouver par récurrence sur m
que
(7) pour tout λ ∈ V [m] et tout μ ∈ A
∗
˜
M,C
, on a l’égalité
b∈B[m]
c b
i=1,...,n
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ) μ, ˇ
α b,i
−1 = 0.
Pour m = 0, B[m] = B et l’égalité est un cas particulier de (4). Supposons
m > 0 et la relation prouvée pour m − 1. Soit λ ∈ V [m]. Les conditions imposées
à C impliquent qu’il y a au moins h + 1 points z ∈ C tels que
λ m − z ∈ 2DZ, −C
2m
≤ Re(z) ≤ −C
2m−1 .
Pour un tel point, notons λ[z] l’élément de A
∗
˜
M,C
tel que λ[z] i = λ i pour i = m et
λ[z] m = z. Montrons que l’on peut choisir z tel que λ[z] ∈ H. En effet, supposons
que tous les λ[z] appartiennent à H. Puisqu’on a au moins h + 1 points z, il y en
a au moins deux, disons z et z
, tels que λ[z] et λ[z
] appartiennent à un même
hyperplan contenu dans H. Alors λ =
z
−λm
z −z λ[z] +
z−λm
z−z λ[z
] appartient aussi à
cet hyperplan, contrairement à l’hypothèse. Cela prouve l’assertion. On choisit un
z tel que λ[z] ∈ H et on pose simplement λ
= λ[z]. Les deux éléments λ et λ