IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1087
(y b,σ(i) ) i=1,...,n et ˇ
α
b = (ˇ α b,σ(i) ) i=1,...,n , où σ est une permutation de {1, . . . , n}.
On s’autorisera à effectuer de telles permutations d’indices. On peut supposer
que c b = 0 pour tout b ∈ B j et que, si b, b
sont deux éléments distincts de
B j , les familles associées à b et b
sont distinctes ( c’est-à-dire qu’il n’y a pas de
permutation σ de {1, . . . , n} telle que y b,i = y b ,σ(i) et ˇ
α b,i = ˇ
α b ,σ(i) pour tout i).
Soient λ ∈ A
∗
˜
M,C
− H, μ ∈ A
∗
˜
M,C
en position générale et e = (e j ) j=1,...,k ∈ E.
D’après (3) le coefficient de s
−n dans le développement en 0 de la fonction
s →
j=1,...,k
u j (λ + sμ)e j (λ + sμ)
est
j=1,...,k
e j (λ)
b∈Bj
c b
i=1,...,n
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ) μ, ˇ
α b,i
−1 .
L’hypothèse d’holomorphie et l’hypothèse n ≥ 1 impliquent que cette expression
est nulle. Par ailleurs, d’après la condition (1), on peut choisir e de sorte que
e 1 (λ) = 1 et e j (λ) = 0 pour j = 2, . . . , k. En posant simplement B = B 1 (on peut
évidemment supposer k ≥ 1), on obtient
(4) pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
− H et tout μ ∈ A
∗
˜
M,C
en position générale, on a
b∈B
c b
i=1,...,n
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ) μ, ˇ
α b,i
−1 = 0.
Remarquons que l’on peut supprimer la condition que μ est en position générale : l’expression ci-dessus est méromorphe en μ, la condition est que cette
fonction méromorphe est nulle. Remarquons aussi que nos fonctions ne dépendent
que des projections de λ et μ modulo A
∗
˜
G,C
. On ne perd rien à supposer que cet
espace est nul.
On veut prouver que u 1 = 0, c’est-à-dire que B est vide. Raisonnons par
l’absurde et supposons B non vide. Par construction de l’ensemble J
˜
G
˜
M
, tous les
éléments ˇ
α b,i appartiennent à un Z-module de type fini contenu dans A
˜
G
˜
M
. Montrons que l’on peut choisir un élément b 0 ∈ B tel que, quitte à permuter les indices,
on ait
(5) soient m ∈ {1, . . . , n} et b ∈ B ; supposons qu’il existe c ∈ Q tel que ˇ
α b,i =
ˇ
α b0,i pour i = 1, . . . , m − 1 et ˇ
α b,m = cˇ α b0,m ; alors 0 < c ≤ 1 ;
En effet, soit m ∈ {1, . . . , n}, supposons choisi b 0 tel que cette propriété soit
vérifiée pour tout m
< m. Notons B
le sous-ensemble des b ∈ B tels que, quitte
à permuter les indices, on ait ˇ
α b,i = ˇ
α b0,i pour i = 1, . . . , m − 1. Considérons
l’ensemble des éléments ˇ
α b,i pour b ∈ B
et i ≥ m. On peut choisir un élément
ˇ
α b1,i1 de cet ensemble qui soit maximal, au sens que, si un autre élément ˇ
α b,i vérifie
ˇ
α b,i = cˇ α b1,i1 , avec c ∈ Q, on ait |c| ≤ 1. On a automatiquement 0 < c ≤ 1 par
l’hypothèse de positivité imposée à nos coracines. Quitte à permuter les indices,
M
1087
(y b,σ(i) ) i=1,...,n et ˇ
α
b = (ˇ α b,σ(i) ) i=1,...,n , où σ est une permutation de {1, . . . , n}.
On s’autorisera à effectuer de telles permutations d’indices. On peut supposer
que c b = 0 pour tout b ∈ B j et que, si b, b
sont deux éléments distincts de
B j , les familles associées à b et b
sont distinctes ( c’est-à-dire qu’il n’y a pas de
permutation σ de {1, . . . , n} telle que y b,i = y b ,σ(i) et ˇ
α b,i = ˇ
α b ,σ(i) pour tout i).
Soient λ ∈ A
∗
˜
M,C
− H, μ ∈ A
∗
˜
M,C
en position générale et e = (e j ) j=1,...,k ∈ E.
D’après (3) le coefficient de s
−n dans le développement en 0 de la fonction
s →
j=1,...,k
u j (λ + sμ)e j (λ + sμ)
est
j=1,...,k
e j (λ)
b∈Bj
c b
i=1,...,n
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ) μ, ˇ
α b,i
−1 .
L’hypothèse d’holomorphie et l’hypothèse n ≥ 1 impliquent que cette expression
est nulle. Par ailleurs, d’après la condition (1), on peut choisir e de sorte que
e 1 (λ) = 1 et e j (λ) = 0 pour j = 2, . . . , k. En posant simplement B = B 1 (on peut
évidemment supposer k ≥ 1), on obtient
(4) pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
− H et tout μ ∈ A
∗
˜
M,C
en position générale, on a
b∈B
c b
i=1,...,n
p(y b,i + λ, ˇ
α b,i ) μ, ˇ
α b,i
−1 = 0.
Remarquons que l’on peut supprimer la condition que μ est en position générale : l’expression ci-dessus est méromorphe en μ, la condition est que cette
fonction méromorphe est nulle. Remarquons aussi que nos fonctions ne dépendent
que des projections de λ et μ modulo A
∗
˜
G,C
. On ne perd rien à supposer que cet
espace est nul.
On veut prouver que u 1 = 0, c’est-à-dire que B est vide. Raisonnons par
l’absurde et supposons B non vide. Par construction de l’ensemble J
˜
G
˜
M
, tous les
éléments ˇ
α b,i appartiennent à un Z-module de type fini contenu dans A
˜
G
˜
M
. Montrons que l’on peut choisir un élément b 0 ∈ B tel que, quitte à permuter les indices,
on ait
(5) soient m ∈ {1, . . . , n} et b ∈ B ; supposons qu’il existe c ∈ Q tel que ˇ
α b,i =
ˇ
α b0,i pour i = 1, . . . , m − 1 et ˇ
α b,m = cˇ α b0,m ; alors 0 < c ≤ 1 ;
En effet, soit m ∈ {1, . . . , n}, supposons choisi b 0 tel que cette propriété soit
vérifiée pour tout m
< m. Notons B
le sous-ensemble des b ∈ B tels que, quitte
à permuter les indices, on ait ˇ
α b,i = ˇ
α b0,i pour i = 1, . . . , m − 1. Considérons
l’ensemble des éléments ˇ
α b,i pour b ∈ B
et i ≥ m. On peut choisir un élément
ˇ
α b1,i1 de cet ensemble qui soit maximal, au sens que, si un autre élément ˇ
α b,i vérifie
ˇ
α b,i = cˇ α b1,i1 , avec c ∈ Q, on ait |c| ≤ 1. On a automatiquement 0 < c ≤ 1 par
l’hypothèse de positivité imposée à nos coracines. Quitte à permuter les indices,