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Chapitre IX. Le cas archimédien
Proposition. On suppose ˜
M = ˜
G. Soit (u j ) j=1,...,k une famille d’éléments de U
˜
G
˜
M
.
On suppose que, pour tout e = (e j ) j=1,...,k ∈ E, la fonction
λ →
j=1,...,k
u j (λ)e j (λ)
est holomorphe hors de H. Alors u 1 = 0.
Preuve. On peut agrandir H et supposer que c’est une réunion finie d’hyperplans
affines. Définissons une fonction p : C → {−1/2, 0, 1/2} par p(k) =
(−1)
k sgn(k)
2
pour k ∈ Z − {0} et p(s) = 0 pour s ∈ Z ou s = 0. La fonction Γ 1 (s) de 5.4 a
pour pôles les points s tels que p(s) = 0, et son résidu en s est p(s). Remarquons
la propriété suivante
(2) soient s ∈ C et k ∈ 2Z ; si Re(s) et Re(s + k) sont tous deux non nuls et s’ils
sont de même signe, on a p(s) = p(s + k) ; si Re(s) et Re(s + k) sont tous
deux non nuls mais sont de signes opposés, on a p(s) = −p(s + k).
Notons n la dimension de A
˜
G
˜
M
. On a défini l’ensemble J
˜
G
˜
M
en 5.4. On fixe
un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ), qui permet de supposer que les éléments de J
˜
G
˜
M
sont des
familles ˇ
α = (ˇ α i ) i=1,...,n telles que, pour tout i, ˇ
α i est positif pour P . Considérons une telle famille, ainsi qu’une famille y = (y i ) i=1,...,n de nombres complexes
imaginaires. Soient λ, μ ∈ A
∗
˜
M,C
, supposons μ en position générale (précisément
μ, ˇ
α i = 0 pour tout i). On voit que
(3) la fonction
s →
i=1,...,n
Γ 1 (y i + λ + sμ, ˇ
α i )
sur C a un pôle d’ordre au plus n en s = 0 ; le coefficient de s
−n dans son
développement en 0 est égal à
i=1,...,n
p(y i + λ, ˇ
α i ) μ, ˇ
α i
−1 .
Pour tout j = 1, . . . , k, on peut fixer
– un ensemble fini d’indices B j ;
– pour b ∈ B j , un nombre complexe c b , une famille y b = (y b,i ) i=1,...,n de
nombres complexes imaginaires et une famille ˇ
α b = (ˇ α b,i ) i=1,...,n ∈ J
˜
G
˜
M
;
de sorte que, pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
, on ait l’égalité
u j (λ) =
b∈Bj
c b
i=1,...,n
Γ 1 (y b,i + λ, ˇ
α b,i ).
Cette formule ne change pas si, pour un indice j et pour élément b ∈ B j , on
remplace les familles y b = (y b,i ) i=1,...,n et ˇ
α b = (ˇ α b,i ) i=1,...,n par les familles y
b
=
Chapitre IX. Le cas archimédien
Proposition. On suppose ˜
M = ˜
G. Soit (u j ) j=1,...,k une famille d’éléments de U
˜
G
˜
M
.
On suppose que, pour tout e = (e j ) j=1,...,k ∈ E, la fonction
λ →
j=1,...,k
u j (λ)e j (λ)
est holomorphe hors de H. Alors u 1 = 0.
Preuve. On peut agrandir H et supposer que c’est une réunion finie d’hyperplans
affines. Définissons une fonction p : C → {−1/2, 0, 1/2} par p(k) =
(−1)
k sgn(k)
2
pour k ∈ Z − {0} et p(s) = 0 pour s ∈ Z ou s = 0. La fonction Γ 1 (s) de 5.4 a
pour pôles les points s tels que p(s) = 0, et son résidu en s est p(s). Remarquons
la propriété suivante
(2) soient s ∈ C et k ∈ 2Z ; si Re(s) et Re(s + k) sont tous deux non nuls et s’ils
sont de même signe, on a p(s) = p(s + k) ; si Re(s) et Re(s + k) sont tous
deux non nuls mais sont de signes opposés, on a p(s) = −p(s + k).
Notons n la dimension de A
˜
G
˜
M
. On a défini l’ensemble J
˜
G
˜
M
en 5.4. On fixe
un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ), qui permet de supposer que les éléments de J
˜
G
˜
M
sont des
familles ˇ
α = (ˇ α i ) i=1,...,n telles que, pour tout i, ˇ
α i est positif pour P . Considérons une telle famille, ainsi qu’une famille y = (y i ) i=1,...,n de nombres complexes
imaginaires. Soient λ, μ ∈ A
∗
˜
M,C
, supposons μ en position générale (précisément
μ, ˇ
α i = 0 pour tout i). On voit que
(3) la fonction
s →
i=1,...,n
Γ 1 (y i + λ + sμ, ˇ
α i )
sur C a un pôle d’ordre au plus n en s = 0 ; le coefficient de s
−n dans son
développement en 0 est égal à
i=1,...,n
p(y i + λ, ˇ
α i ) μ, ˇ
α i
−1 .
Pour tout j = 1, . . . , k, on peut fixer
– un ensemble fini d’indices B j ;
– pour b ∈ B j , un nombre complexe c b , une famille y b = (y b,i ) i=1,...,n de
nombres complexes imaginaires et une famille ˇ
α b = (ˇ α b,i ) i=1,...,n ∈ J
˜
G
˜
M
;
de sorte que, pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
, on ait l’égalité
u j (λ) =
b∈Bj
c b
i=1,...,n
Γ 1 (y b,i + λ, ˇ
α b,i ).
Cette formule ne change pas si, pour un indice j et pour élément b ∈ B j , on
remplace les familles y b = (y b,i ) i=1,...,n et ˇ
α b = (ˇ α b,i ) i=1,...,n par les familles y
b
=