IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1085
En conséquence de (4) et (5), on a
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )).
La fonction
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est un élément de I ac ( ˜
M (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)). En appliquant la propriété 5.13(3), l’égalité ci-dessus entraîne que I
˜
M (γ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0 si
le support de γ ne coupe pas Ω
M , où Ω est un certain sous-ensemble compact de
˜
M (R). Il en résulte que
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est «à support compact», c’est-à-dire est un élément de I( ˜
M (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)). Pour ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ ,
la fonction λ → I
˜
M (˜ π, λ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) est donc holomorphe. Ses coefficients de Fourier I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) ne dépendent pas du point ν. Dans la proposition 5.10,
on peut remplacer tous les ν ˜
S par 0. Puisque
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X) = 1,
on obtient que, pour ˜
π elliptique, les coefficients de Fourier I
˜
M (˜ π, 0, X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
sont tous nuls. Cela entraîne que I
˜
M (˜ π,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0. D’autre part, la fonction
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est cuspidale. En effet, on a la formule de descente
(
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) ˜
R,ω =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
c θ
rat, ˜
L
˜
R
(f ˜
Q,ω )
pour tout espace de Levi ˜
R ∈ L
M ( ˜
M 0 ). En utilisant l’assertion (1) par récurrence, on en déduit que (
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) ˜
R,ω = 0 si ˜
R est propre. Un élément de
I( ˜
M (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)) qui est cuspidal et annulé par toutes les représentations elliptiques est nul. L’assertion (1) en résulte. L’égalité (5) entraîne alors (2)
et l’égalité (4) entraîne (3).
IX.5.15 Une propriété de l’espace U
˜
G
˜
M
On note F l’espace des fonctions holomorphes sur A
∗
˜
M,C
. Soit H un sous-ensemble
de A
∗
˜
M,C
qui est réunion finie de sous-espaces affines propres invariants par translations par A
∗
˜
G,C
. Soient k ≥ 1 un entier et E un sous-ensemble de F
k . Un élément
de E est une famille e = (e j ) j=1,...,k où e j ∈ F pour tout j. On suppose
(1) pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
− H, il existe e = (e j ) j=1,...,k ∈ E tel que e 1 (λ) = 1
tandis que e j (λ) = 0 pour j = 2, . . . , k.
M
1085
En conséquence de (4) et (5), on a
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )).
La fonction
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est un élément de I ac ( ˜
M (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)). En appliquant la propriété 5.13(3), l’égalité ci-dessus entraîne que I
˜
M (γ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0 si
le support de γ ne coupe pas Ω
M , où Ω est un certain sous-ensemble compact de
˜
M (R). Il en résulte que
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est «à support compact», c’est-à-dire est un élément de I( ˜
M (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)). Pour ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ ,
la fonction λ → I
˜
M (˜ π, λ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) est donc holomorphe. Ses coefficients de Fourier I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) ne dépendent pas du point ν. Dans la proposition 5.10,
on peut remplacer tous les ν ˜
S par 0. Puisque
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X) = 1,
on obtient que, pour ˜
π elliptique, les coefficients de Fourier I
˜
M (˜ π, 0, X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
sont tous nuls. Cela entraîne que I
˜
M (˜ π,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0. D’autre part, la fonction
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est cuspidale. En effet, on a la formule de descente
(
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) ˜
R,ω =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
c θ
rat, ˜
L
˜
R
(f ˜
Q,ω )
pour tout espace de Levi ˜
R ∈ L
M ( ˜
M 0 ). En utilisant l’assertion (1) par récurrence, on en déduit que (
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) ˜
R,ω = 0 si ˜
R est propre. Un élément de
I( ˜
M (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)) qui est cuspidal et annulé par toutes les représentations elliptiques est nul. L’assertion (1) en résulte. L’égalité (5) entraîne alors (2)
et l’égalité (4) entraîne (3).
IX.5.15 Une propriété de l’espace U
˜
G
˜
M
On note F l’espace des fonctions holomorphes sur A
∗
˜
M,C
. Soit H un sous-ensemble
de A
∗
˜
M,C
qui est réunion finie de sous-espaces affines propres invariants par translations par A
∗
˜
G,C
. Soient k ≥ 1 un entier et E un sous-ensemble de F
k . Un élément
de E est une famille e = (e j ) j=1,...,k où e j ∈ F pour tout j. On suppose
(1) pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
− H, il existe e = (e j ) j=1,...,k ∈ E tel que e 1 (λ) = 1
tandis que e j (λ) = 0 pour j = 2, . . . , k.