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Chapitre IX. Le cas archimédien
(2) La distribution f →
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) se quotiente en une forme linéaire sur
I( ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)).
Remarquons que cette propriété est utilisée par récurrence pour poser la définition (1). Comme pour les propositions 5.9 et 5.11, la preuve est plus délicate dans
le cas archimédien. Elle sera faite en 5.14. Les propriétés suivantes se prouvent,
elles, comme dans le cas non-archimédien, cf. [VIII] 1.9.
(3) Pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K)⊗Mes(G(R)), il existe un sous-ensemble compact
Γ ⊂ ˜
M (R) tel que
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = 0 si le support de γ ne coupe pas Γ
M =
{m
−1 γm; m ∈ M (R), γ ∈ Γ}.
(4) Soient ˜
R ∈ L
M ( ˜
M 0 ) et γ ∈ D orb ( ˜
R(R), ω) ⊗ Mes(R(R))
∗ . On a l’égalité
c I
˜
G
˜
M (γ
˜
M , f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
c I
˜
L
˜
R (γ, f ˜
L,ω ).
(5) On a l’égalité
c I
˜
G
˜
M (γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L
˜
M
(γ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).
IX.5.14 Preuve des propositions 5.9, 5.11 et de l’assertion 5.13(2)
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). Supposons que l’image de f dans
I( ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R))
soit nulle. On veut prouver les assertions
(1)
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) = 0 ;
(2)
c θ
˜
G
˜
M
(f ) = 0 ;
(3)
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = 0 pour tout γ ∈ D orb ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
Ces assertions sont tautologiques si ˜
M = ˜
G. Supposons ˜
M = ˜
G. Dans la
formule 5.13(5), utilisons par récurrence l’assertion (2) où l’on remplace ˜
M par ˜
L
pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), ˜
L = ˜
M . Cette formule 5.13(5) se simplifie en
(4)
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ,
c θ
˜
G
˜
M (f )).
Dans le lemme 5.12, utilisons de la même façon l’assertion (1) par récurrence
(remarquons que, pour les applications θ
rat, ˜
L
˜
M
, il n’y a pas de problème : on sait
qu’elles se factorisent par I ac ( ˜
L(R), ω, K) ⊗ Mes(L(R))). On obtient
(5)
c θ
˜
G
˜
M (f ) =
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ).