IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1083
remplacé par ˜
L. Cela transforme (2) en
φ
˜
G
˜
M
(f ) − φ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) =
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
θ
rat, ˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L (f ))
+
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
˜
L ∈L( ˜
L), ˜
L = ˜
L
θ
rat, ˜
L
˜
M
◦
c θ
rat, ˜
L
˜
L
(
c φ
˜
G
˜
L (f )).
Dans la dernière somme, on change la notation en remplaçant ( ˜
L, ˜
L
) par ( ˜
L
, ˜
L).
Le membre de gauche de (1) est la somme de ceux de (2) et (3). Il en est donc de
même des membres de droite. On obtient
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L (f )) =
˜
L∈L( ˜
M ), ˜
L = ˜
M
θ
rat, ˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L (f ))
+
˜
L ∈L( ˜
M ), ˜
L = ˜
M
˜
L∈L( ˜
L ), ˜
L = ˜
L
θ
rat, ˜
L
˜
M
◦
c θ
rat, ˜
L
˜
L
(
c φ
˜
G
˜
L (f ))
+
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
c θ
rat, ˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L (f )).
On peut inclure la première somme du membre de droite dans la deuxième somme,
en supprimant la condition ˜
L
= ˜
L. On peut de même inclure la troisième somme
dans la deuxième en supprimant la condition ˜
L
= ˜
M . On obtient
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L (f )) =
˜
L∈L( ˜
M ), ˜
L = ˜
M
˜
L ∈L
˜
L ( ˜
M)
θ
rat, ˜
L
˜
M
◦
c θ
rat, ˜
L
˜
L
(
c φ
˜
G
˜
L (f )).
En raisonnant par récurrence, on peut supposer la relation de l’énoncé prouvée si
l’on remplace ˜
G par ˜
L = ˜
G. Alors les termes des deux membres ci-dessus indexés
par un tel ˜
L sont égaux. Il ne reste que l’égalité des termes indexés par ˜
G. Cette
égalité est celle de l’énonce.
IX.5.13 Une variante des intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes
Soit γ ∈ D orb ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ , cf. [V] 1.3 pour cette notation. On définit
une application linéaire
f →
c I
˜
G
˜
M (γ, f )
sur C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) par la formule de récurrence
(1)
c I
˜
G
˜
M (γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c I
˜
L
˜
M (γ,
c φ
˜
G
˜
L (f )).
Elle vérifie les mêmes propriétés que dans le cas non-archimédien. Rappelons-les.