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Chapitre IX. Le cas archimédien
Proposition. L’application
c θ
˜
G
˜
M se quotiente en une application linéaire définie sur
I( ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)).
Soit
˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗
et soit
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).
La fonction
X → I
˜
M (˜ π, X,
c θ
˜
G
˜
M (f ))
sur A ˜
M est la transformée de Fourier d’une fonction λ → I
˜
M (˜ π, λ,
c θ
˜
G
˜
M
(f )) sur
iA
∗
˜
M
. Celle-ci s’étend en une fonction méromorphe sur A
∗
˜
M,C
qui est à décroissance
rapide dans les bandes verticales. Ses pôles sont de la forme décrite en 5.2(3). Par
contre, le nombre de ces pôles (ou plutôt de ces hyperplans polaires) n’est pas
forcément fini. Ces propriétés résultent par récurrence de la définition ci-dessus et
des propriétés analogues des fonctions X → I
˜
M (˜ π, X, φ
˜
G
˜
M
(f )).
IX.5.12 Relation entre les applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
et
c θ
˜
G
˜
M
Lemme. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R, K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité
c θ
˜
G
˜
M (f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
θ
rat, ˜
L
˜
M
◦
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f ).
Preuve. Si ˜
M = ˜
G, les trois applications θ
rat, ˜
G
˜
G
,
c θ
rat, ˜
G
˜
G
et
c θ
˜
G
˜
G
sont l’identité et
la relation de l’énoncé est claire. Supposons ˜
M = ˜
G. En utilisant le fait que
θ
rat, ˜
M
˜
M
,
c θ
rat, ˜
M
˜
M
et
c θ
˜
M
˜
M
sont l’identité, les définitions de nos applications peuvent
se reformuler de la façon suivante :
(1)
φ
˜
G
˜
M
(f ) −
c φ
˜
G
˜
M (f ) =
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L (f )),
(2)
φ
˜
G
˜
M
(f ) − φ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) =
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f )),
(3)
φ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) −
c φ
˜
G
˜
M (f ) =
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
c θ
rat, ˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L (f )).
Dans le terme du membre de droite de (2) indexé par ˜
L, on utilise (3) avec ˜
M