IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1081
sur A ˜
M est la transformée de Fourier de la fonction λ → J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f ) sur iA
∗
˜
M
.
Celle-ci se prolonge en une fonction méromorphe sur A
∗
˜
M,C
qui vérifie les propriétés
(2), (3), (4) et (5) de 5.2.
On voit alors par récurrence que la fonction
X → I
˜
M (˜ π, X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
est la transformée de Fourier d’une fonction sur iA
∗
˜
M
, laquelle se prolonge en une
fonction méromorphe sur A
∗
˜
M,C
qui a les mêmes propriétés que ci-dessus. On note
λ → I
˜
M (˜ π, λ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) cette fonction. Pour ν ∈ A
∗
˜
M
tel que cette fonction n’ait
pas de pôle sur ν + iA
∗
˜
M
et pour X ∈ A ˜
M , on pose
I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) =
ν+iA ∗
˜
M
I
˜
M (˜ π, λ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))e
−−λ,X dλ.
Dans l’énoncé suivant, on fixe pour tout ˜
S ∈ P( ˜
M ) un point ν ˜
S comme en 5.8.
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G et ˜
π elliptique. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R),K)⊗Mes(G(R)).
Si chaque point ν ˜
S est assez positif relativement à ˜
S, on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M )
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0
pour tout X ∈ A ˜
M .
Remarque. La condition «assez positif» imposée aux points ν ˜
S dépend de ˜
π et
de f . Toutefois, la propriété 5.2(5) implique que, si l’on fixe un ensemble fini de
K-types, on peut choisir des points ν ˜
S assez positifs, cette notion ne dépendant
plus que de Ω, de sorte que l’égalité de l’énoncé soit vérifiée pour tous ˜
π et f ,
pourvu que f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)).
IX.5.11 L’application
c θ
˜
G
˜
M
On définit une application
c θ
˜
G
˜
M : C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R))
par la formule de récurrence
c θ
˜
G
˜
M (f ) = φ
˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L
(f )).
La différence avec la définition de 5.9 est que l’on a remplacé le premier terme
φ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) par φ
˜
G
˜
M
(f ). Comme en 5.9, pour que cette définition ait un sens, il faut
admettre par récurrence la propriété suivante, qui sera prouvée en 5.14.
M
1081
sur A ˜
M est la transformée de Fourier de la fonction λ → J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f ) sur iA
∗
˜
M
.
Celle-ci se prolonge en une fonction méromorphe sur A
∗
˜
M,C
qui vérifie les propriétés
(2), (3), (4) et (5) de 5.2.
On voit alors par récurrence que la fonction
X → I
˜
M (˜ π, X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
est la transformée de Fourier d’une fonction sur iA
∗
˜
M
, laquelle se prolonge en une
fonction méromorphe sur A
∗
˜
M,C
qui a les mêmes propriétés que ci-dessus. On note
λ → I
˜
M (˜ π, λ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) cette fonction. Pour ν ∈ A
∗
˜
M
tel que cette fonction n’ait
pas de pôle sur ν + iA
∗
˜
M
et pour X ∈ A ˜
M , on pose
I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) =
ν+iA ∗
˜
M
I
˜
M (˜ π, λ,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))e
−−λ,X dλ.
Dans l’énoncé suivant, on fixe pour tout ˜
S ∈ P( ˜
M ) un point ν ˜
S comme en 5.8.
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G et ˜
π elliptique. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R),K)⊗Mes(G(R)).
Si chaque point ν ˜
S est assez positif relativement à ˜
S, on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M )
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0
pour tout X ∈ A ˜
M .
Remarque. La condition «assez positif» imposée aux points ν ˜
S dépend de ˜
π et
de f . Toutefois, la propriété 5.2(5) implique que, si l’on fixe un ensemble fini de
K-types, on peut choisir des points ν ˜
S assez positifs, cette notion ne dépendant
plus que de Ω, de sorte que l’égalité de l’énoncé soit vérifiée pour tous ˜
π et f ,
pourvu que f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)).
IX.5.11 L’application
c θ
˜
G
˜
M
On définit une application
c θ
˜
G
˜
M : C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R))
par la formule de récurrence
c θ
˜
G
˜
M (f ) = φ
˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L
(f )).
La différence avec la définition de 5.9 est que l’on a remplacé le premier terme
φ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) par φ
˜
G
˜
M
(f ). Comme en 5.9, pour que cette définition ait un sens, il faut
admettre par récurrence la propriété suivante, qui sera prouvée en 5.14.