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Chapitre IX. Le cas archimédien
IX.5.9 L’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
On définit une application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
: C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R))
par la formule de récurrence
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) = φ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c θ
rat, ˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L
(f )).
Pour que cette définition ait un sens, il faut admettre par récurrence la propriété
suivante.
Proposition. L’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
se quotiente en une application linéaire définie
sur I( ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)).
On démontre facilement que l’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
est ω-équivariante. C’està-dire que soit h ∈ C
∞
c (G(R)) une fonction K-finie à droite et à gauche. Notons h ω la fonction h ω (g) = ω(g)h(g). Fixons des mesures de Haar. Pour f ∈
C
∞
c ( ˜
G(R), ω, K), on définit les fonctions f f h et h ω f sur ˜
G(R) par
(f f h)(γ) =
G(R)
f (γg
−1 )h(g) dg,
(h ω f)(γ) =
G(R)
h ω (g)f (g
−1 γ) dg.
Ces fonctions sont encore K-finies à droite et à gauche. On montre que
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f f
h) =
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(h ω f). Mais, dans notre cas où le corps de base est réel, cela ne
suffit pas à prouver la proposition. Il faudrait de plus prouver une propriété de
continuité de notre application. On préfère revenir à la méthode d’Arthur. La
proposition sera prouvée en 5.14.
Comme dans le paragraphe précédent, on peut préciser que, si Ω est un
ensemble fini de K-types, il existe un ensemble fini Ω
M de K
M -types de sorte que
c θ
rat, ˜
G
˜
M
envoie C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)) dans I ac ( ˜
M (R), ω, Ω
M ) ⊗ Mes(M (R)).
IX.5.10 Propriétés de l’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
Les propriétés démontrées en [VIII] 1.6 et 1.8 dans le cas non-archimédien pour
l’application notée alors
c θ
˜
G
˜
M
valent aussi sur le corps de base réel pour l’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
. Rappelons la principale. Soit ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et soit
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). La fonction
X → I
˜
M (˜ π, X, φ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
Chapitre IX. Le cas archimédien
IX.5.9 L’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
On définit une application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
: C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R))
par la formule de récurrence
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) = φ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c θ
rat, ˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L
(f )).
Pour que cette définition ait un sens, il faut admettre par récurrence la propriété
suivante.
Proposition. L’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
se quotiente en une application linéaire définie
sur I( ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)).
On démontre facilement que l’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
est ω-équivariante. C’està-dire que soit h ∈ C
∞
c (G(R)) une fonction K-finie à droite et à gauche. Notons h ω la fonction h ω (g) = ω(g)h(g). Fixons des mesures de Haar. Pour f ∈
C
∞
c ( ˜
G(R), ω, K), on définit les fonctions f f h et h ω f sur ˜
G(R) par
(f f h)(γ) =
G(R)
f (γg
−1 )h(g) dg,
(h ω f)(γ) =
G(R)
h ω (g)f (g
−1 γ) dg.
Ces fonctions sont encore K-finies à droite et à gauche. On montre que
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f f
h) =
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(h ω f). Mais, dans notre cas où le corps de base est réel, cela ne
suffit pas à prouver la proposition. Il faudrait de plus prouver une propriété de
continuité de notre application. On préfère revenir à la méthode d’Arthur. La
proposition sera prouvée en 5.14.
Comme dans le paragraphe précédent, on peut préciser que, si Ω est un
ensemble fini de K-types, il existe un ensemble fini Ω
M de K
M -types de sorte que
c θ
rat, ˜
G
˜
M
envoie C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)) dans I ac ( ˜
M (R), ω, Ω
M ) ⊗ Mes(M (R)).
IX.5.10 Propriétés de l’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
Les propriétés démontrées en [VIII] 1.6 et 1.8 dans le cas non-archimédien pour
l’application notée alors
c θ
˜
G
˜
M
valent aussi sur le corps de base réel pour l’application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
. Rappelons la principale. Soit ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et soit
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). La fonction
X → I
˜
M (˜ π, X, φ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))