IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1079
est méromorphe sur A
∗
˜
R,C
et n’a qu’un nombre fini d’hyperplans polaires. Elle est
à décroissance rapide dans les bandes verticales. Cela résulte des propriétés de
J
rat, ˜
G
˜
M
et de l’hypothèse que f est K-finie à droite et à gauche. Pour ν ∈ A
∗
˜
R
tel
que cette fonction n’ait pas de pôle sur ν + iA
∗
˜
R
, on peut former l’intégrale
ν+iA ∗
˜
R
J
rat, ˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π λ ), f
e
−−λ,X dλ.
Soit ˜
S ∈ P
˜
G ( ˜
R). Fixons un point ν ˜
S ∈ A
∗
˜
R
tel que ν ˜
S , ˇ
α soit assez grand pour
tout α ∈ Σ
˜
S ( ˜
R). L’intégrale ci-dessus pour ν = ν ˜
S ne dépend pas du choix de ν ˜
S .
On pose
c J
rat, ˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f
=
A ˜
R
˜
S∈P
˜
G ( ˜
R)
ω ˜
S (X)
ν ˜
S +iA ∗
˜
R
J
rat, ˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π λ ), f
e
−−λ,X dλ dX.
Proposition.
(i) La fonction en X que l’on intègre ci-dessus est C
∞ et à support compact. Le
terme
c J
rat, ˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f ) ne dépend que de Ind
˜
M
˜
R
(˜ π) (et pas des choix de ˜
R
et ˜
π).
(ii) Il existe une unique application linéaire
c φ
˜
G
˜
M
: C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → I( ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R))
de sorte que, pour tout ˜
R ∈ L
M ( ˜
M 0 ), tout ˜
π ∈ D ell ( ˜
R(R), ω) ⊗ Mes(R(R)) et
tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), on ait l’égalité
I
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π),
c φ
˜
G
˜
M (f )) =
c J
rat, ˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f ).
La preuve est identique à celle du cas non-archimédien, cf. [VIII] 1.3.
Remarque. On peut préciser que, si Ω est un ensemble fini de K-types, il existe un
ensemble fini Ω
M de K
M -types de sorte que
c φ
˜
G
˜
M
envoie C
∞
c ( ˜
G(R), Ω)⊗Mes(G(R))
dans I( ˜
M (R), ω, Ω
M ) ⊗ Mes(M (R)).
Les propriétés prouvées dans le cas non-archimédien en [VIII] 1.4 valent aussi
dans notre cas où le corps de base est réel. En particulier, la propriété [VIII] 1.4(6)
dit que
c φ
˜
G
˜
M
s’étend en une application linéaire
C
∞
ac ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R)).