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Chapitre IX. Le cas archimédien
de bases des sous-espaces D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) quand μ décrit tous les paramètres
possibles. On note P W ell,μ ( ˜
G, ω) le sous-espace des familles appartenant à
P W
∞
ell ( ˜
G, ω) dont les composantes sont nulles pour les indices n’appartenant pas
à D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω). Rappelons que l’on a des homomorphismes naturels
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞
ell ( ˜
L, ω)
sym
→ P W
∞ ( ˜
G, ω)
pw
← I( ˜
G(R), ω).
Un élément f ∈ I ac ( ˜
G(R), ω) appartient à I ac ( ˜
G(R), ω, K) si et seulement s’il existe
un nombre fini de couples ( ˜
L i , μ i ) i=1,...,k , où ˜
L i ∈ L( ˜
M 0 ) et μ i est une W
L -orbite
dans h
∗ , de sorte que, pour toute fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ), on ait la relation
pw(f (b ◦ H ˜
G )) ∈ sym(⊕ i=1,...,k P W ell,μi ( ˜
L i , ω)).
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K). Alors f ˜
M,ω est K
M -finie à droite et à gauche et on peut
fixer un ensemble fini de couples ( ˜
L i , μ i ) i=1,...,k comme ci-dessus, avec ˜
L i ⊂ ˜
M ,
de sorte que
pw
M (f ˜
M,ω ) ∈ sym
M (⊕ i=1,...,k P W ell,μi ( ˜
L i , ω))
(on a ajouté des exposants M pour désigner les objets relatifs à ˜
M plutôt qu’à
˜
G). Quitte à accroître la famille ( ˜
L i , μ i ) i=1,...,k , on peut la supposer invariante
par l’action de W
M . Soit b ∈ C
∞
c (A ˜
M ). Soient ˜
L ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ) et μ une W
L -orbite
dans h
∗ . Pour tout λ ∈ iA
˜
M,∗
˜
L
, tout ˜
π ∈ D ell,μ,0 ( ˜
L(R), ω) λ et tout X ∈ A ˜
M , on a
l’égalité
I
˜
M (Ind
˜
M
˜
L
(˜ π), X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )(b ◦ H ˜
M )) = I
˜
M (Ind
˜
M
˜
L
(˜ π), X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))b(X).
L’assertion (7) et la formule du lemme montrent que ceci est nul si ( ˜
L, μ) n’est pas
l’un des ( ˜
L i , μ i ). Il en résulte que la composante de pw
M (θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )(b ◦ H ˜
M )) dans
P W ell,μ ( ˜
L, ω) est nulle si ( ˜
L, μ) n’est pas l’un des ( ˜
L i , μ i ). Cela prouve (8).
IX.5.8 L’application
c φ
˜
G
˜
M
Pour tout ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et tout ˜
P ∈ P( ˜
M ), on fixe une fonction ω ˜
P : A ˜
M → [0, 1].
On suppose que ces fonctions vérifient les hypothèses de [VIII] 1.1.
Remarque. Dans cette référence, le corps de base était non-archimédien et on
avait défini des fonctions ω ˜
P sur les espaces ˜
A ˜
M . Ici, le corps de base est archimédien et les fonctions H ˜
M : ˜
M (R) → A ˜
M que l’on a fixées permettent d’identifier
˜
A ˜
M à A ˜
M .
On suppose de plus que les fonctions ω ˜
P sont C
∞ .
Soient ˜
R ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ), ˜
π un élément de D ell ( ˜
R(R), ω) ⊗ Mes(R(R))
∗ et f ∈
C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). Pour X ∈ A ˜
R , la fonction
λ → J
rat, ˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π λ
, f )e
−−λ,X
Chapitre IX. Le cas archimédien
de bases des sous-espaces D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) quand μ décrit tous les paramètres
possibles. On note P W ell,μ ( ˜
G, ω) le sous-espace des familles appartenant à
P W
∞
ell ( ˜
G, ω) dont les composantes sont nulles pour les indices n’appartenant pas
à D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω). Rappelons que l’on a des homomorphismes naturels
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞
ell ( ˜
L, ω)
sym
→ P W
∞ ( ˜
G, ω)
pw
← I( ˜
G(R), ω).
Un élément f ∈ I ac ( ˜
G(R), ω) appartient à I ac ( ˜
G(R), ω, K) si et seulement s’il existe
un nombre fini de couples ( ˜
L i , μ i ) i=1,...,k , où ˜
L i ∈ L( ˜
M 0 ) et μ i est une W
L -orbite
dans h
∗ , de sorte que, pour toute fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ), on ait la relation
pw(f (b ◦ H ˜
G )) ∈ sym(⊕ i=1,...,k P W ell,μi ( ˜
L i , ω)).
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K). Alors f ˜
M,ω est K
M -finie à droite et à gauche et on peut
fixer un ensemble fini de couples ( ˜
L i , μ i ) i=1,...,k comme ci-dessus, avec ˜
L i ⊂ ˜
M ,
de sorte que
pw
M (f ˜
M,ω ) ∈ sym
M (⊕ i=1,...,k P W ell,μi ( ˜
L i , ω))
(on a ajouté des exposants M pour désigner les objets relatifs à ˜
M plutôt qu’à
˜
G). Quitte à accroître la famille ( ˜
L i , μ i ) i=1,...,k , on peut la supposer invariante
par l’action de W
M . Soit b ∈ C
∞
c (A ˜
M ). Soient ˜
L ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ) et μ une W
L -orbite
dans h
∗ . Pour tout λ ∈ iA
˜
M,∗
˜
L
, tout ˜
π ∈ D ell,μ,0 ( ˜
L(R), ω) λ et tout X ∈ A ˜
M , on a
l’égalité
I
˜
M (Ind
˜
M
˜
L
(˜ π), X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )(b ◦ H ˜
M )) = I
˜
M (Ind
˜
M
˜
L
(˜ π), X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))b(X).
L’assertion (7) et la formule du lemme montrent que ceci est nul si ( ˜
L, μ) n’est pas
l’un des ( ˜
L i , μ i ). Il en résulte que la composante de pw
M (θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )(b ◦ H ˜
M )) dans
P W ell,μ ( ˜
L, ω) est nulle si ( ˜
L, μ) n’est pas l’un des ( ˜
L i , μ i ). Cela prouve (8).
IX.5.8 L’application
c φ
˜
G
˜
M
Pour tout ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et tout ˜
P ∈ P( ˜
M ), on fixe une fonction ω ˜
P : A ˜
M → [0, 1].
On suppose que ces fonctions vérifient les hypothèses de [VIII] 1.1.
Remarque. Dans cette référence, le corps de base était non-archimédien et on
avait défini des fonctions ω ˜
P sur les espaces ˜
A ˜
M . Ici, le corps de base est archimédien et les fonctions H ˜
M : ˜
M (R) → A ˜
M que l’on a fixées permettent d’identifier
˜
A ˜
M à A ˜
M .
On suppose de plus que les fonctions ω ˜
P sont C
∞ .
Soient ˜
R ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ), ˜
π un élément de D ell ( ˜
R(R), ω) ⊗ Mes(R(R))
∗ et f ∈
C
∞
c ( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). Pour X ∈ A ˜
R , la fonction
λ → J
rat, ˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π λ
, f )e
−−λ,X