IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1077
Par inversion de Fourier, l’hypothèse équivaut à l’égalité
I
˜
M (v(λ), f ˜
M ,ω ) = 0
pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω) et tout λ ∈ iA
∗
˜
M
. Ecrivons v =
i=1,...,k u i ⊗ ˜
π i , où
u i ∈ U
˜
G
˜
M
et ˜
π i ∈ D temp,0 ( ˜
M (R), ω) pour tout i. On peut supposer que u i = 0
pour tout i et que la famille (˜ π i ) i=1,...,k est linéairement indépendante. Si v = 0,
on a k ≥ 1 et on peut fixer φ 1 ∈ I( ˜
M (R), ω) tel que I
˜
M (˜ π 1 , φ 1 ) = 1 tandis que
I
˜
M (˜ π i , φ 1 ) = 0 pour tout i ≥ 2. Introduisons l’ensemble H du lemme 5.6 pour
notre famille (˜ π i ) i=1,...,k . Fixons λ ∈ iA
∗
˜
M
tel que λ ∈ H et u 1 (λ) = 0. Définissons
la fonction φ sur ˜
M (R) par φ(γ) = e
−λ,H ˜
M (γ) φ 1 (γ). On a
I
˜
M (˜ π i,λ , φ) = I
˜
M (˜ π i , φ 1 )
pour tout i. Associons à φ une fonction f ∈ I( ˜
G(R), ω) satisfaisant la conclusion
du lemme 5.6. On a alors I
˜
M (˜ π 1,λ , f ˜
M,ω ) = 1 tandis que I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M,ω ) = 0 pour
tout i ≥ 2. Alors I
˜
M (v(λ), f ˜
M,ω ) = u 1 (λ) = 0, ce qui contredit l’hypothèse. Cela
prouve (6) et le lemme.
Rappelons que, pour une ω-représentation ˜
π de ˜
G(R) telle que π soit irréductible, on définit son paramètre infinitésimal μ(˜ π) qui est une orbite dans h
∗ pour
l’action du groupe de Weyl W . Pour une telle orbite, on note D temp,μ ( ˜
G(R), ω)
le sous-espace de D temp ( ˜
G(R), ω) engendré par les ˜
π de paramètre infinitésimal
μ. On a les variantes D temp,0,μ ( ˜
G(R), ω), D ell,μ ( ˜
G(R), ω), D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω). Ce
dernier espace est de dimension finie. Plus généralement, pour λ ∈ iA
∗
˜
G
, notons
D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) λ l’ensemble des ˜
π λ pour ˜
π ∈ D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω). La construction
explicite de l’application ρ
˜
G
˜
M
effectuée dans la preuve ci-dessus entraîne la propriété suivante. Soient ˜
R ∈ L
M ( ˜
M 0 ), μ une orbite dans h
∗ pour l’action de W
R
et λ ∈ iA
˜
M,∗
˜
R
. Alors
(7) ρ
˜
G
˜
M
envoie
Ind
˜
M
˜
R
(D ell,0,μ ( ˜
R(R), ω) λ ) ⊗ Mes(R(R))
∗
dans
U
˜
G
˜
M
⊗ Ind
˜
M
˜
R
(D ell,0,μ ( ˜
R(R), ω) λ ) ⊗ Mes(R(R))
∗ .
En conséquence
(8) θ
rat, ˜
G
˜
M
envoie C
∞
c ( ˜
G(R), K)⊗Mes(G(R)) dans I ac ( ˜
M (R), ω, K)⊗Mes(M (R)).
Preuve. On oublie comme souvent les espaces de mesures. L’espace de Paley–
Wiener P W
∞
ell ( ˜
G, ω) est un espace de familles de fonctions holomorphes indexées
par une base de D ell,0 ( ˜
G(R), ω). On peut supposer que cette base est réunion
M
1077
Par inversion de Fourier, l’hypothèse équivaut à l’égalité
I
˜
M (v(λ), f ˜
M ,ω ) = 0
pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω) et tout λ ∈ iA
∗
˜
M
. Ecrivons v =
i=1,...,k u i ⊗ ˜
π i , où
u i ∈ U
˜
G
˜
M
et ˜
π i ∈ D temp,0 ( ˜
M (R), ω) pour tout i. On peut supposer que u i = 0
pour tout i et que la famille (˜ π i ) i=1,...,k est linéairement indépendante. Si v = 0,
on a k ≥ 1 et on peut fixer φ 1 ∈ I( ˜
M (R), ω) tel que I
˜
M (˜ π 1 , φ 1 ) = 1 tandis que
I
˜
M (˜ π i , φ 1 ) = 0 pour tout i ≥ 2. Introduisons l’ensemble H du lemme 5.6 pour
notre famille (˜ π i ) i=1,...,k . Fixons λ ∈ iA
∗
˜
M
tel que λ ∈ H et u 1 (λ) = 0. Définissons
la fonction φ sur ˜
M (R) par φ(γ) = e
−λ,H ˜
M (γ) φ 1 (γ). On a
I
˜
M (˜ π i,λ , φ) = I
˜
M (˜ π i , φ 1 )
pour tout i. Associons à φ une fonction f ∈ I( ˜
G(R), ω) satisfaisant la conclusion
du lemme 5.6. On a alors I
˜
M (˜ π 1,λ , f ˜
M,ω ) = 1 tandis que I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M,ω ) = 0 pour
tout i ≥ 2. Alors I
˜
M (v(λ), f ˜
M,ω ) = u 1 (λ) = 0, ce qui contredit l’hypothèse. Cela
prouve (6) et le lemme.
Rappelons que, pour une ω-représentation ˜
π de ˜
G(R) telle que π soit irréductible, on définit son paramètre infinitésimal μ(˜ π) qui est une orbite dans h
∗ pour
l’action du groupe de Weyl W . Pour une telle orbite, on note D temp,μ ( ˜
G(R), ω)
le sous-espace de D temp ( ˜
G(R), ω) engendré par les ˜
π de paramètre infinitésimal
μ. On a les variantes D temp,0,μ ( ˜
G(R), ω), D ell,μ ( ˜
G(R), ω), D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω). Ce
dernier espace est de dimension finie. Plus généralement, pour λ ∈ iA
∗
˜
G
, notons
D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) λ l’ensemble des ˜
π λ pour ˜
π ∈ D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω). La construction
explicite de l’application ρ
˜
G
˜
M
effectuée dans la preuve ci-dessus entraîne la propriété suivante. Soient ˜
R ∈ L
M ( ˜
M 0 ), μ une orbite dans h
∗ pour l’action de W
R
et λ ∈ iA
˜
M,∗
˜
R
. Alors
(7) ρ
˜
G
˜
M
envoie
Ind
˜
M
˜
R
(D ell,0,μ ( ˜
R(R), ω) λ ) ⊗ Mes(R(R))
∗
dans
U
˜
G
˜
M
⊗ Ind
˜
M
˜
R
(D ell,0,μ ( ˜
R(R), ω) λ ) ⊗ Mes(R(R))
∗ .
En conséquence
(8) θ
rat, ˜
G
˜
M
envoie C
∞
c ( ˜
G(R), K)⊗Mes(G(R)) dans I ac ( ˜
M (R), ω, K)⊗Mes(M (R)).
Preuve. On oublie comme souvent les espaces de mesures. L’espace de Paley–
Wiener P W
∞
ell ( ˜
G, ω) est un espace de familles de fonctions holomorphes indexées
par une base de D ell,0 ( ˜
G(R), ω). On peut supposer que cette base est réunion