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Chapitre IX. Le cas archimédien
où
B(μ) =
iA ∗
˜
L
I
˜
M (˜ π λ+μ , ϕ 2, ˜
M,ω )e
−−λ,X dλ.
Fixons ˜
Q ∈ P
˜
L ( ˜
M ). On a aussi
B(μ) =
iA ∗
˜
L
I
˜
L (Ind
˜
L
˜
Q
(˜ π μ+λ ), ϕ 2 )e
−−λ,X dλ = I
˜
L (Ind
˜
L
˜
Q
(˜ π μ ), X ˜
L , ϕ 2 ).
En se rappelant la définition ϕ 2 = φ
rat, ˜
G
˜
L
(f )(b ◦ H ˜
L ), on voit que le terme ci-dessus
est égal à I
˜
L (Ind
˜
L
˜
Q
(˜ π μ ), X ˜
L , φ
rat, ˜
G
˜
L
(f )). Ou encore, par définition,
B(μ) =
iA ∗
˜
L
J
rat, ˜
G
˜
L
(Ind
˜
L
˜
Q
(˜ π μ+λ ), f)e
−−λ,X dλ.
On peut alors reconstituer la formule (4) sous la forme
(5) I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))) =
iA ∗
˜
M
ρ
˜
L
˜
M
(π λ )J
rat, ˜
G
˜
L
(Ind
˜
L
˜
Q
(˜ π λ ), f)e
−−λ,X dλ,
puisque la fonction que l’on intègre est à décroissance rapide.
Les formules (2), (3) et (5) conduisent à l’égalité
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
C(λ)e
−−λ,X dλ,
où
C(λ) = J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
ρ
˜
L
˜
M
(π λ )J
rat, ˜
G
˜
L
(Ind
˜
L
˜
Q
(˜ π λ ), f).
D’après 5.4(3), on a C(λ) = ρ
˜
G
˜
M
(π λ )I
˜
G (Ind
˜
G
˜
Q
(˜ π λ ), f) où ˜
Q ∈ P( ˜
M ), ou encore
C(λ) = ρ
˜
G
˜
M
(π λ )I
˜
M (˜ π λ , f ˜
M,ω ). La formule précédente devient (1). Cela prouve
cette relation.
On vient de prouver l’existence de ρ
˜
G
˜
M
(˜ π) pour un ensemble de ˜
π qui engendre
linéairement l’espace D temp,0 ( ˜
M (R), ω). On peut donc définir par linéarité une
application ρ
˜
G
˜
M
qui vérifie l’égalité de l’énoncé. On doit prouver son unicité. Celleci résulte de l’assertion suivante
(6) soit v ∈ U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ; supposons que, pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω)
et tout X ∈ A ˜
M , on ait l’égalité
iA ∗
˜
M
I
˜
M (v(λ), f ˜
M ,ω )e
−−λ,X dλ = 0;
alors v = 0.