IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1075
fonction méromorphe sur tout A
∗
˜
M,C
. Elle est à décroissance rapide dans les bandes
verticales. Ses pôles sont de la forme décrite en 5.2(3). Par contre, le nombre de
ces pôles (ou plus exactement ces hyperplans polaires) n’est pas toujours fini.
Preuve. Soit ˜
π une ω-représentation tempérée de ˜
M (R). Supposons comme en 5.1
que π soit une sous-représentation d’une induite Ind
M
S (σ λ0 ), où S ∈ P
M (R), σ
est de la série discrète de R(R) et ω σ = 1 sur A R . On suppose de plus que le
caractère central de π est trivial sur A ˜
M , c’est-à-dire que λ 0 annule cet espace. On
définit ρ
˜
G
˜
M
(˜ π) comme le produit u ⊗ ˜
π, où u est la fonction u(λ) = ρ
˜
G
˜
M
(π λ ). Pour
simplifier, on fixe des mesures sur les groupes intervenant. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)).
L’égalité de l’énoncé s’écrit plus explicitement
(1)
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
ρ
˜
G
˜
M
(π λ )I
˜
M (˜ π λ , f ˜
M,ω )e
−−λ,X dλ.
On va vérifier cette égalité. On a par définition
(2)
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
= I
˜
M (˜ π, X, φ
˜
G
˜
M
(f )) −
˜
L∈L( ˜
M ), ˜
L = ˜
G
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))).
Le premier terme est par définition J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ), c’est-à-dire
(3)
I
˜
M (˜ π, X, φ
˜
G
˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f)e
−−λ,X dλ.
Fixons ˜
L = ˜
G. On ne peut pas appliquer par récurrence la formule de l’énoncé pour
calculer le terme indexé par ˜
L car la fonction φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ) n’est pas à support compact
en général. Mais, X étant fixé, on choisit une fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
L ) qui vaut 1 au
voisinage de la projection X ˜
L de X sur A ˜
L . Posons ϕ 1 = θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))(b ◦ H ˜
L ).
On a alors
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))) = I
˜
M (˜ π, X, ϕ 1 ).
D’après [VIII] 1.6(3) qui est valable pour notre application θ
rat, ˜
L
˜
M
, on a ϕ 1 =
θ
rat, ˜
L
˜
M
(ϕ 2 ), où ϕ 2 = φ
rat, ˜
G
˜
L
(f )(b ◦ H ˜
L ). Maintenant, ϕ 2 est à support compact et
on peut appliquer par récurrence la formule de l’énoncé. On obtient
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))) =
iA ∗
˜
M
ρ
˜
L
˜
M
(π λ )I
˜
M (˜ π λ , ϕ 2, ˜
M,ω )e
−−λ,X dλ.
Il est clair que ρ
˜
L
˜
M
(π λ ) ne dépend que de la projection de λ sur iA
˜
L,∗
˜
M
. On peut
récrire l’égalité ci-dessus
(4)
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))) =
iA
˜
L,∗
˜
M
ρ
˜
L
˜
M
(π μ )B(μ)e
−−μ,X dμ,
M
1075
fonction méromorphe sur tout A
∗
˜
M,C
. Elle est à décroissance rapide dans les bandes
verticales. Ses pôles sont de la forme décrite en 5.2(3). Par contre, le nombre de
ces pôles (ou plus exactement ces hyperplans polaires) n’est pas toujours fini.
Preuve. Soit ˜
π une ω-représentation tempérée de ˜
M (R). Supposons comme en 5.1
que π soit une sous-représentation d’une induite Ind
M
S (σ λ0 ), où S ∈ P
M (R), σ
est de la série discrète de R(R) et ω σ = 1 sur A R . On suppose de plus que le
caractère central de π est trivial sur A ˜
M , c’est-à-dire que λ 0 annule cet espace. On
définit ρ
˜
G
˜
M
(˜ π) comme le produit u ⊗ ˜
π, où u est la fonction u(λ) = ρ
˜
G
˜
M
(π λ ). Pour
simplifier, on fixe des mesures sur les groupes intervenant. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)).
L’égalité de l’énoncé s’écrit plus explicitement
(1)
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
ρ
˜
G
˜
M
(π λ )I
˜
M (˜ π λ , f ˜
M,ω )e
−−λ,X dλ.
On va vérifier cette égalité. On a par définition
(2)
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
= I
˜
M (˜ π, X, φ
˜
G
˜
M
(f )) −
˜
L∈L( ˜
M ), ˜
L = ˜
G
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))).
Le premier terme est par définition J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ), c’est-à-dire
(3)
I
˜
M (˜ π, X, φ
˜
G
˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f)e
−−λ,X dλ.
Fixons ˜
L = ˜
G. On ne peut pas appliquer par récurrence la formule de l’énoncé pour
calculer le terme indexé par ˜
L car la fonction φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ) n’est pas à support compact
en général. Mais, X étant fixé, on choisit une fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
L ) qui vaut 1 au
voisinage de la projection X ˜
L de X sur A ˜
L . Posons ϕ 1 = θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))(b ◦ H ˜
L ).
On a alors
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))) = I
˜
M (˜ π, X, ϕ 1 ).
D’après [VIII] 1.6(3) qui est valable pour notre application θ
rat, ˜
L
˜
M
, on a ϕ 1 =
θ
rat, ˜
L
˜
M
(ϕ 2 ), où ϕ 2 = φ
rat, ˜
G
˜
L
(f )(b ◦ H ˜
L ). Maintenant, ϕ 2 est à support compact et
on peut appliquer par récurrence la formule de l’énoncé. On obtient
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))) =
iA ∗
˜
M
ρ
˜
L
˜
M
(π λ )I
˜
M (˜ π λ , ϕ 2, ˜
M,ω )e
−−λ,X dλ.
Il est clair que ρ
˜
L
˜
M
(π λ ) ne dépend que de la projection de λ sur iA
˜
L,∗
˜
M
. On peut
récrire l’égalité ci-dessus
(4)
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))) =
iA
˜
L,∗
˜
M
ρ
˜
L
˜
M
(π μ )B(μ)e
−−μ,X dμ,