1074
Chapitre IX. Le cas archimédien
fonction f
telle que pw(f
) a une projection nulle dans P W
∞,st ( ˜
G) et la même projection que pw(f ) dans P W
∞,inst ( ˜
G). La première condition implique que l’image
de f
dans SI( ˜
G(R)) est nulle, d’après le théorème [IV] 2.3.
IX.5.7 Propriétés de l’application θ
rat, ˜
G
˜
M
Les propriétés démontrées en [VIII] 1.6 de l’application
c θ
˜
G
˜
M
sur un corps de base
non-archimédien valent aussi pour notre application θ
rat, ˜
G
˜
M
. Les démonstrations en
sont les mêmes.
On a défini l’espace D temp ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères de représentations tempérées et son sous-espace D temp,0 ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères
de représentations tempérées dont le caractère central ω π est trivial sur A ˜
G . Ainsi,
en notant C[iA
∗
˜
G
] l’espace vectoriel complexe de base iA
∗
˜
G
, l’application
D temp,0 ( ˜
G(R), ω) ⊗ C[iA
∗
˜
G
] → D temp ( ˜
G(R), ω)
˜
π ⊗ (
λ c λ λ)
→
λ c λ ˜
π λ
est un isomorphisme. On a défini en 5.4 l’espace U
˜
G
˜
M
. Considérons un élément
v ∈ U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ , un élément λ ∈ A
∗
˜
M,C
et une fonction
f ∈ I( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)). On peut écrire v =
j=1,...,k u j ˜
π j où les u j sont
des éléments de U
˜
G
˜
M
et les ˜
π j appartiennent à D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
On peut alors définir
j=1,...,k
u j (λ)I
˜
M (˜ π λ , f ).
Cela ne dépend pas de la décomposition choisie de v. On note I
˜
M (v(λ), f ) cette
expression. Remarquons que, puisque les u j (λ) et ses dérivées sont bornées pour
λ ∈ iA
∗
˜
M
et que I
˜
M (˜ π λ , f ) est de Schwartz sur cet ensemble, la fonction I
˜
M (v(λ), f )
est elle aussi de Schwartz sur iA
∗
˜
M
.
Lemme. Il existe une unique application linéaire
ρ
˜
G
˜
M
: D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗
vérifiant la condition suivante.
Soient f ∈ I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), ˜
π ∈ D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et
X ∈ A ˜
M . Alors on a l’égalité
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
I
˜
M (ρ
˜
G
˜
M
(˜ π; λ), f ˜
M,ω )e
−−λ,X dλ.
Remarque. Il résulte de cette formule et de 5.4(5) que la transformée de Fourier
λ → I
˜
M (˜ π, λ, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) de la fonction X → I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) s’étend en une
Chapitre IX. Le cas archimédien
fonction f
telle que pw(f
) a une projection nulle dans P W
∞,st ( ˜
G) et la même projection que pw(f ) dans P W
∞,inst ( ˜
G). La première condition implique que l’image
de f
dans SI( ˜
G(R)) est nulle, d’après le théorème [IV] 2.3.
IX.5.7 Propriétés de l’application θ
rat, ˜
G
˜
M
Les propriétés démontrées en [VIII] 1.6 de l’application
c θ
˜
G
˜
M
sur un corps de base
non-archimédien valent aussi pour notre application θ
rat, ˜
G
˜
M
. Les démonstrations en
sont les mêmes.
On a défini l’espace D temp ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères de représentations tempérées et son sous-espace D temp,0 ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères
de représentations tempérées dont le caractère central ω π est trivial sur A ˜
G . Ainsi,
en notant C[iA
∗
˜
G
] l’espace vectoriel complexe de base iA
∗
˜
G
, l’application
D temp,0 ( ˜
G(R), ω) ⊗ C[iA
∗
˜
G
] → D temp ( ˜
G(R), ω)
˜
π ⊗ (
λ c λ λ)
→
λ c λ ˜
π λ
est un isomorphisme. On a défini en 5.4 l’espace U
˜
G
˜
M
. Considérons un élément
v ∈ U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ , un élément λ ∈ A
∗
˜
M,C
et une fonction
f ∈ I( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)). On peut écrire v =
j=1,...,k u j ˜
π j où les u j sont
des éléments de U
˜
G
˜
M
et les ˜
π j appartiennent à D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
On peut alors définir
j=1,...,k
u j (λ)I
˜
M (˜ π λ , f ).
Cela ne dépend pas de la décomposition choisie de v. On note I
˜
M (v(λ), f ) cette
expression. Remarquons que, puisque les u j (λ) et ses dérivées sont bornées pour
λ ∈ iA
∗
˜
M
et que I
˜
M (˜ π λ , f ) est de Schwartz sur cet ensemble, la fonction I
˜
M (v(λ), f )
est elle aussi de Schwartz sur iA
∗
˜
M
.
Lemme. Il existe une unique application linéaire
ρ
˜
G
˜
M
: D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗
vérifiant la condition suivante.
Soient f ∈ I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), ˜
π ∈ D temp,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et
X ∈ A ˜
M . Alors on a l’égalité
I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
I
˜
M (ρ
˜
G
˜
M
(˜ π; λ), f ˜
M,ω )e
−−λ,X dλ.
Remarque. Il résulte de cette formule et de 5.4(5) que la transformée de Fourier
λ → I
˜
M (˜ π, λ, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) de la fonction X → I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) s’étend en une