IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1073
Mais tous les termes de cette somme sont égaux à ϕ ˜
Ri,ei,φ (μ i + λ) d’après la condition d’invariance vérifiée par la famille (ϕ ˜
R,e,φ ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) . L’égalité
ci-dessus devient (3), ce qui achève la démonstration.
On peut renforcer le lemme de la façon suivante.
Lemme (bis). Soient ˜
π 1 , . . . , ˜
π n un ensemble fini d’éléments de D temp ( ˜
M (R), ω).
Il existe un sous-ensemble H de A
∗
˜
M,C
, qui est une réunion finie de sous-espaces
affines propres invariants par translations par A
∗
˜
G,C
, et il existe un ensemble fini Ω
de K-types de sorte que, pour tout λ ∈ iA
∗
˜
M
, λ ∈ H, et pour tout φ ∈ I( ˜
M (R), ω),
il existe f ∈ I( ˜
G(R), ω, Ω) de sorte que l’on ait l’égalité
I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M,ω ) = I
˜
M (˜ π i,λ , φ)
pour tout i = 1, . . . , n.
Preuve. Notons pw : I( ˜
G(R), ω) → P W
∞ ( ˜
G, ω) l’isomorphisme du théorème de
Renard, cf. [IV] 1.4. Avec la terminologie introduite en [IV] 3.5, il existe un ensemble fini Ω
pw de types spectraux de sorte que, pour tous i et λ, I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M,ω )
ne dépende que de la projection de pw(f ) dans le sous-espace P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ).
D’après le théorème de Delorme et Mezo, on peut fixer un ensemble fini Ω de Ktypes de sorte que P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) ⊂ pw(I( ˜
G(R), ω, Ω)). Il suffit alors de remplacer
la fonction f fournie par le lemme précédent par une fonction f
∈ I( ˜
G(R), ω, Ω)
telle que la projection de pw(f ) dans P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) soit égale à pw(f
).
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On a défini un
sous-espace «instable» D
inst
ell,0 ( ˜
M ), cf. [IV] 2.2.
Lemme (ter). Soient ˜
π 1 , . . . , ˜
π n un ensemble fini d’éléments de D
inst
ell,0 ( ˜
M (R)). Il
existe un sous-ensemble H de A
∗
˜
M,C
, qui est une réunion finie de sous-espaces
affines propres invariants par translations par A
∗
˜
G,C
, et il existe un ensemble fini
Ω de K-types de sorte que, pour tout λ ∈ iA
∗
˜
M
, λ ∈ H, et pour tout φ ∈ I( ˜
M (R)),
il existe f ∈ I( ˜
G(R), Ω) de sorte que
– l’image de f dans SI( ˜
G(R)) soit nulle ;
– on ait l’égalité
I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M ) = I
˜
M (˜ π i,λ , φ)
pour tout i = 1, . . . , n.
Preuve. On a décomposé l’espace de Paley–Wiener P W
∞ ( ˜
G) en somme de deux
sous-espaces P W
∞,st ( ˜
G) et P W
∞,inst ( ˜
G), cf. [IV] 2.3. L’hypothèse d’instabilité
des ˜
π i entraîne que la conclusion ne dépend que de la projection de pw(f ) dans
P W
∞,inst ( ˜
G). On peut remplacer la fonction f fournie par le lemme bis par une
M
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Mais tous les termes de cette somme sont égaux à ϕ ˜
Ri,ei,φ (μ i + λ) d’après la condition d’invariance vérifiée par la famille (ϕ ˜
R,e,φ ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) . L’égalité
ci-dessus devient (3), ce qui achève la démonstration.
On peut renforcer le lemme de la façon suivante.
Lemme (bis). Soient ˜
π 1 , . . . , ˜
π n un ensemble fini d’éléments de D temp ( ˜
M (R), ω).
Il existe un sous-ensemble H de A
∗
˜
M,C
, qui est une réunion finie de sous-espaces
affines propres invariants par translations par A
∗
˜
G,C
, et il existe un ensemble fini Ω
de K-types de sorte que, pour tout λ ∈ iA
∗
˜
M
, λ ∈ H, et pour tout φ ∈ I( ˜
M (R), ω),
il existe f ∈ I( ˜
G(R), ω, Ω) de sorte que l’on ait l’égalité
I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M,ω ) = I
˜
M (˜ π i,λ , φ)
pour tout i = 1, . . . , n.
Preuve. Notons pw : I( ˜
G(R), ω) → P W
∞ ( ˜
G, ω) l’isomorphisme du théorème de
Renard, cf. [IV] 1.4. Avec la terminologie introduite en [IV] 3.5, il existe un ensemble fini Ω
pw de types spectraux de sorte que, pour tous i et λ, I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M,ω )
ne dépende que de la projection de pw(f ) dans le sous-espace P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ).
D’après le théorème de Delorme et Mezo, on peut fixer un ensemble fini Ω de Ktypes de sorte que P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) ⊂ pw(I( ˜
G(R), ω, Ω)). Il suffit alors de remplacer
la fonction f fournie par le lemme précédent par une fonction f
∈ I( ˜
G(R), ω, Ω)
telle que la projection de pw(f ) dans P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) soit égale à pw(f
).
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On a défini un
sous-espace «instable» D
inst
ell,0 ( ˜
M ), cf. [IV] 2.2.
Lemme (ter). Soient ˜
π 1 , . . . , ˜
π n un ensemble fini d’éléments de D
inst
ell,0 ( ˜
M (R)). Il
existe un sous-ensemble H de A
∗
˜
M,C
, qui est une réunion finie de sous-espaces
affines propres invariants par translations par A
∗
˜
G,C
, et il existe un ensemble fini
Ω de K-types de sorte que, pour tout λ ∈ iA
∗
˜
M
, λ ∈ H, et pour tout φ ∈ I( ˜
M (R)),
il existe f ∈ I( ˜
G(R), Ω) de sorte que
– l’image de f dans SI( ˜
G(R)) soit nulle ;
– on ait l’égalité
I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M ) = I
˜
M (˜ π i,λ , φ)
pour tout i = 1, . . . , n.
Preuve. On a décomposé l’espace de Paley–Wiener P W
∞ ( ˜
G) en somme de deux
sous-espaces P W
∞,st ( ˜
G) et P W
∞,inst ( ˜
G), cf. [IV] 2.3. L’hypothèse d’instabilité
des ˜
π i entraîne que la conclusion ne dépend que de la projection de pw(f ) dans
P W
∞,inst ( ˜
G). On peut remplacer la fonction f fournie par le lemme bis par une