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Chapitre IX. Le cas archimédien
On ne perd rien à remplacer les ˜
π i par d’autres éléments de D temp ( ˜
M (R), ω)
qui engendrent le même sous-espace. On peut donc supposer que, pour tout i =
1, . . . , n, il existe
– ˜
R i ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ) ;
– e i ∈ D ell,0 ( ˜
R i (R), ω) et μ i ∈ iA
∗
˜
R
(le dernier i étant
√
−1) ;
de sorte que ˜
π i soit l’induite de ˜
R i à ˜
M de e i,μi . L’égalité de l’énoncé s’écrit alors
(3)
ϕ ˜
Ri,e i,f
(μ i + λ) = ϕ ˜
Ri,e i,φ
(μ i + λ).
Considérons l’ensemble des triplets (i, j, w), où i, j ∈ {1, . . . , n} et w ∈
W ( ˜
M 0 ) − W
M ( ˜
M 0 ), tels que w( ˜
R i ) = ˜
R j . Puisque w ∈ W
M ( ˜
M 0 ), l’ensemble
des λ ∈ A
∗
˜
M,C
vérifiant l’équation w(μ i + λ) = μ j + λ est soit vide, soit un sousespace affine propre invariant par translations par A
∗
˜
G,C
. On note H la réunion de
ces ensembles. Soit λ ∈ iA
∗
˜
M
tel que λ ∈ H. Soit ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ). Considérons les deux
ensembles suivants
– E
( ˜
R) est l’ensemble des w(μ i + λ) pour i = 1, . . . , n et w ∈ W
M ( ˜
M 0 ) tels
que w( ˜
R i ) = ˜
R ;
– E
( ˜
R) est l’ensemble des w(μ i + λ) pour i = 1, . . . , n et w ∈ W ( ˜
M 0 ) −
W
M ( ˜
M 0 ) tels que w( ˜
R i ) = ˜
R.
Puisque λ ∈ H, ces ensembles sont disjoints. On peut donc fixer un polynôme p ˜
R sur A
∗
˜
R,C
de sorte que p ˜
R (μ) = 1 pour tout μ ∈ E
( ˜
R) et p ˜
R (μ) = 0
pour tout μ ∈ E
( ˜
R). Soit φ ∈ I( ˜
M (R), ω), que l’on décrit par la collection
(ϕ ˜
R,e,φ ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) comme ci-dessus.
Pour ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ), e ∈ D ell,0 ( ˜
R(R), ω) et μ ∈ A
∗
˜
R,C
, posons
(4)
ϕ ˜
R,e (μ) = |W
M ( ˜
M 0 )|
−1
w∈W ( ˜
M0)
ϕ w( ˜
R),w(e),φ (w(μ))p w( ˜
R) (w(μ)).
La famille (ϕ ˜
R,e ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) vérifie les conditions d’analycité et de
croissance requises pour appartenir à l’espace P W
∞ ( ˜
G, ω). Elle vérifie aussi par définition la condition d’invariance (1) ˜
R,w pour tout ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et tout w ∈ W ( ˜
M 0 ).
Elle appartient donc à cet espace de Paley–Wiener. Donc il existe f ∈ I( ˜
G(R), ω)
telle que ϕ ˜
R,e,f = ϕ ˜
R,e pour tous ˜
R, e. Il reste à prouver que la condition (3)
est vérifiée. Fixons i ∈ {1, . . . , n}. Soit w ∈ W ( ˜
M 0 ). Si w ∈ W
M ( ˜
M 0 ), l’élément
w(μ i + λ) appartient à E
(w( ˜
R i )). Donc p w( ˜
R) (w(μ i + λ)) = 0. Si w ∈ W
M ( ˜
M 0 ),
l’élément w(μ i +λ) appartient à E
(w( ˜
R)) donc p w( ˜
R) (w(μ i +λ)) = 1. La définition
(4) donne alors
ϕ ˜
Ri,ei (μ i + λ) = |W
M ( ˜
M 0 )|
−1
w∈W M ( ˜
M0)
ϕ w( ˜
Ri),w(ei),φ (w(μ i + λ)).