IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1071
en une application linéaire définie sur I ac ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)). On pose alors la
définition
θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) = φ
˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f )).
La preuve des propriétes évoquées ci-dessus est formelle à partir des propriétés de
l’application φ
˜
G
˜
M
, que l’on a prouvées en [V] 1.2, et des propriétés analogues de
l’application φ
rat, ˜
G
˜
M
.
IX.5.6 Un lemme auxiliaire
Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant.
Lemme. Soient ˜
π 1 , . . . , ˜
π n un ensemble fini d’éléments de D temp ( ˜
M (R), ω). Il
existe un sous-ensemble H de A
∗
˜
M,C
qui est une réunion finie de sous-espaces affines propres invariants par translations par A
∗
˜
G,C
de sorte que, pour tout λ ∈ iA
∗
˜
M
,
λ ∈ H, et pour tout φ ∈ I( ˜
M (R), ω), il existe f ∈ I( ˜
G(R), ω) de sorte que l’on ait
l’égalité
I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M,ω ) = I
˜
M (˜ π i,λ , φ)
pour tout i = 1, . . . , n.
Preuve. Soit f ∈ I( ˜
G(R), ω). Pour tout ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et tout e ∈ D ell,0 ( ˜
R(R), ω),
on définit la fonction ϕ ˜
R,e,f sur A
∗
˜
R,C
par ϕ ˜
R,e,f (μ) = I
˜
R (e μ , f ˜
R,ω ). On rappelle que le théorème de Paley–Wiener affirme que l’application qui à f associe la collection de fonctions (ϕ ˜
R,e,f ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) est une bijection de
I( ˜
G(R), ω) sur un espace P W
∞ ( ˜
G, ω) décrit en [IV] 1.4. C’est l’espace des familles (ϕ ˜
R,e ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) de fonctions qui vérifient certaines conditions
d’analycité, de croissance et d’invariance relativement à l’action de W ( ˜
M 0 ). Précisons cette dernière condition. Pour w ∈ W ( ˜
M 0 ) et ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ), w induit un
isomorphisme de D ell,0 ( ˜
R(R), ω) sur D ell,0 (w( ˜
R)(R), ω), que l’on note encore w.
Considérons la propriété
(1) ˜
R,w ϕ w( ˜
R),w(e) (w(μ)) = ϕ( ˜
R, e, μ) pour tout e ∈ D ell,0 ( ˜
R(R), ω) et tout
μ ∈ A
∗
˜
R,C
.
La condition est que (1) ˜
R,w doit être vérifiée pour tout ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et tout
w ∈ W ( ˜
M 0 ). L’espace I( ˜
M (R), ω) se décrit aussi comme un espace de familles
(ϕ ˜
R,e ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) . Elles doivent vérifier les mêmes conditions d’analycité et de croissance que précédemment. Ce qui change est la condition d’invariance. Cette condition est maintenant que (1) ˜
R,w doit être vérifiée pour tout
˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) avec ˜
R ⊂ ˜
M et pour tout w ∈ W
M ( ˜
M 0 ). On doit de plus avoir
(2) ϕ ˜
R,e = 0 si ˜
R ⊂ ˜
M .
M
1071
en une application linéaire définie sur I ac ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)). On pose alors la
définition
θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) = φ
˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
θ
rat, ˜
L
˜
M
(φ
rat, ˜
G
˜
L
(f )).
La preuve des propriétes évoquées ci-dessus est formelle à partir des propriétés de
l’application φ
˜
G
˜
M
, que l’on a prouvées en [V] 1.2, et des propriétés analogues de
l’application φ
rat, ˜
G
˜
M
.
IX.5.6 Un lemme auxiliaire
Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant.
Lemme. Soient ˜
π 1 , . . . , ˜
π n un ensemble fini d’éléments de D temp ( ˜
M (R), ω). Il
existe un sous-ensemble H de A
∗
˜
M,C
qui est une réunion finie de sous-espaces affines propres invariants par translations par A
∗
˜
G,C
de sorte que, pour tout λ ∈ iA
∗
˜
M
,
λ ∈ H, et pour tout φ ∈ I( ˜
M (R), ω), il existe f ∈ I( ˜
G(R), ω) de sorte que l’on ait
l’égalité
I
˜
M (˜ π i,λ , f ˜
M,ω ) = I
˜
M (˜ π i,λ , φ)
pour tout i = 1, . . . , n.
Preuve. Soit f ∈ I( ˜
G(R), ω). Pour tout ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et tout e ∈ D ell,0 ( ˜
R(R), ω),
on définit la fonction ϕ ˜
R,e,f sur A
∗
˜
R,C
par ϕ ˜
R,e,f (μ) = I
˜
R (e μ , f ˜
R,ω ). On rappelle que le théorème de Paley–Wiener affirme que l’application qui à f associe la collection de fonctions (ϕ ˜
R,e,f ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) est une bijection de
I( ˜
G(R), ω) sur un espace P W
∞ ( ˜
G, ω) décrit en [IV] 1.4. C’est l’espace des familles (ϕ ˜
R,e ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) de fonctions qui vérifient certaines conditions
d’analycité, de croissance et d’invariance relativement à l’action de W ( ˜
M 0 ). Précisons cette dernière condition. Pour w ∈ W ( ˜
M 0 ) et ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ), w induit un
isomorphisme de D ell,0 ( ˜
R(R), ω) sur D ell,0 (w( ˜
R)(R), ω), que l’on note encore w.
Considérons la propriété
(1) ˜
R,w ϕ w( ˜
R),w(e) (w(μ)) = ϕ( ˜
R, e, μ) pour tout e ∈ D ell,0 ( ˜
R(R), ω) et tout
μ ∈ A
∗
˜
R,C
.
La condition est que (1) ˜
R,w doit être vérifiée pour tout ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et tout
w ∈ W ( ˜
M 0 ). L’espace I( ˜
M (R), ω) se décrit aussi comme un espace de familles
(ϕ ˜
R,e ) ˜
R∈L( ˜
M0),e∈D ell,0 ( ˜
R(R),ω) . Elles doivent vérifier les mêmes conditions d’analycité et de croissance que précédemment. Ce qui change est la condition d’invariance. Cette condition est maintenant que (1) ˜
R,w doit être vérifiée pour tout
˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) avec ˜
R ⊂ ˜
M et pour tout w ∈ W
M ( ˜
M 0 ). On doit de plus avoir
(2) ϕ ˜
R,e = 0 si ˜
R ⊂ ˜
M .