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Chapitre IX. Le cas archimédien
Définissons la fonction Γ 1 d’une variable complexe s par
Γ 1 (s) =
1
4
Γ
(s/2)
Γ(s/2)
+
Γ
(−s/2)
Γ(−s/2)
−
Γ
((1 + s)/2)
Γ((1 + s)/2)
−
Γ
((1 − s)/2)
Γ((1 − s)/2)
.
On obtient
c
e (0) = (e)Γ 1 (μ(e) + λ, ˇ
α i ),
d’où
(4) ρ
˜
G
˜
M
(π λ ) =
ˇ
α={ ˇ
αi;i=1,...,n}∈J
˜
G
˜
M
m(ˇ α)
i=1,...,n
e∈E ˇ
α i
(π)
(e)Γ 1 (μ(e) + λ, ˇ
α i ).
On a supposé que les ˇ
α i étaient positifs relativement à P . En vertu des propriétés
des ensembles E ˇ
αi (π) et de la parité de la fonction Γ 1 , on voit que cette formule
ne change pas si l’on remplace ˇ
α i par − ˇ
α i . Elle reste donc correcte en considérant
J
˜
G
˜
M
comme un ensemble de classes d’équivalence comme on l’a défini plus haut.
Notons U
˜
G
˜
M
l’espace de fonctions sur A
∗
˜
M,C
engendré par les fonctions de la
forme
λ →
i=1,...,n
Γ 1 (c i + λ, ˇ
α i )
où ˇ
α = { ˇ
α i ; i = 1, . . . , n} parcourt J
˜
G
˜
M
, ou plus exactement un ensemble de représentants de cet ensemble de classes, et où, pour tout i = 1, . . . , n, c i est un nombre
imaginaire. La formule ci-dessus montre que la fonction λ → ρ
˜
G
˜
M
(π λ ) appartient à
U
˜
G
˜
M
. On démontre classiquement la formule
Γ 1 (s) =
k≥1
(−1)
k
k
s 2 − k 2 .
Pour u ∈ U
˜
G
˜
M
, on en déduit aisément les propriétés suivantes :
(5) la fonction u n’a pas de pôle sur iA
∗
˜
M
; pour tout sous-ensemble compact
Ω ⊂ A
∗
˜
M
tel que u n’ait pas de pôle sur Ω + iA
∗
˜
M
, la fonction u et ses dérivées
sont bornées sur cet ensemble.
IX.5.5 L’application θ
rat, ˜
G
˜
M
Nous allons définir une application linéaire
θ
rat, ˜
G
˜
M
: C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)).
On doit admettre par récurrence certaines de ses propriétés. A savoir qu’elle se
prolonge à l’espace C
∞
ac ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), qu’elle est continue et se quotiente
Chapitre IX. Le cas archimédien
Définissons la fonction Γ 1 d’une variable complexe s par
Γ 1 (s) =
1
4
Γ
(s/2)
Γ(s/2)
+
Γ
(−s/2)
Γ(−s/2)
−
Γ
((1 + s)/2)
Γ((1 + s)/2)
−
Γ
((1 − s)/2)
Γ((1 − s)/2)
.
On obtient
c
e (0) = (e)Γ 1 (μ(e) + λ, ˇ
α i ),
d’où
(4) ρ
˜
G
˜
M
(π λ ) =
ˇ
α={ ˇ
αi;i=1,...,n}∈J
˜
G
˜
M
m(ˇ α)
i=1,...,n
e∈E ˇ
α i
(π)
(e)Γ 1 (μ(e) + λ, ˇ
α i ).
On a supposé que les ˇ
α i étaient positifs relativement à P . En vertu des propriétés
des ensembles E ˇ
αi (π) et de la parité de la fonction Γ 1 , on voit que cette formule
ne change pas si l’on remplace ˇ
α i par − ˇ
α i . Elle reste donc correcte en considérant
J
˜
G
˜
M
comme un ensemble de classes d’équivalence comme on l’a défini plus haut.
Notons U
˜
G
˜
M
l’espace de fonctions sur A
∗
˜
M,C
engendré par les fonctions de la
forme
λ →
i=1,...,n
Γ 1 (c i + λ, ˇ
α i )
où ˇ
α = { ˇ
α i ; i = 1, . . . , n} parcourt J
˜
G
˜
M
, ou plus exactement un ensemble de représentants de cet ensemble de classes, et où, pour tout i = 1, . . . , n, c i est un nombre
imaginaire. La formule ci-dessus montre que la fonction λ → ρ
˜
G
˜
M
(π λ ) appartient à
U
˜
G
˜
M
. On démontre classiquement la formule
Γ 1 (s) =
k≥1
(−1)
k
k
s 2 − k 2 .
Pour u ∈ U
˜
G
˜
M
, on en déduit aisément les propriétés suivantes :
(5) la fonction u n’a pas de pôle sur iA
∗
˜
M
; pour tout sous-ensemble compact
Ω ⊂ A
∗
˜
M
tel que u n’ait pas de pôle sur Ω + iA
∗
˜
M
, la fonction u et ses dérivées
sont bornées sur cet ensemble.
IX.5.5 L’application θ
rat, ˜
G
˜
M
Nous allons définir une application linéaire
θ
rat, ˜
G
˜
M
: C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)).
On doit admettre par récurrence certaines de ses propriétés. A savoir qu’elle se
prolonge à l’espace C
∞
ac ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), qu’elle est continue et se quotiente