IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
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En utilisant les propriétés usuelles de commutation des opérateurs d’entrelacement
à l’induction, on obtient la formule suivante, pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) :
(3)
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) =
˜
L∈L( ˜
M)
ρ
˜
L
˜
M
(π λ )J
rat, ˜
G
˜
L
(Ind
˜
L
˜
Q
(˜ π λ ), f),
où, pour tout ˜
L, on a fixé un espace parabolique ˜
Q ∈ P
˜
L ( ˜
M ).
Calculons la fonction ρ
˜
G
˜
M
(π λ ). Considérons l’ensemble des ensembles ˇ
α =
{ ˇ
α i ; i = 1, . . . , n} où les ˇ
α i sont des éléments linéairements indépendants de
ˇ
Σ (A ˜
M ) et où n = a ˜
M − a ˜
G . Disons que deux tels ensembles ˇ
α = { ˇ
α i ; i = 1, . . . , n}
et ˇ
α
= { ˇ
α
i ; i = 1, . . . , n} sont équivalents si, quitte à changer leur numérotation,
on a ˇ
α
i = ± ˇ
α i pour tout i. Notons J
˜
G
˜
M
l’ensemble des classes d’équivalence. Puisqu’on a fixé un espace parabolique ˜
P , on peut identifier J
˜
G
˜
M
à l’ensemble des
ˇ
α = { ˇ
α i ; i = 1, . . . , n} comme ci-dessus tels que ˇ
α i ∈ ˇ
Σ
UP
(A ˜
M ) et c’est ce que
nous faisons pour quelque temps. Pour un élément ˇ
α = { ˇ
α i ; i = 1, . . . , n} de cet
ensemble, on note m(ˇ α) le volume du quotient de A
˜
G
˜
M
par le Z-module engendré
par les ˇ
α i . Pour ˇ
α ∈ ˇ
Σ (A ˜
M ), posons
c ˇ
α (π λ ; Λ) = ρ − ˇ
α (π λ )ρ ˇ
α (π λ+Λ/2 )
−1 ρ − ˇ
α (π λ+Λ/2 )
−1 ρ ˇ
α (π λ+Λ ).
Considérons pour un instant λ comme une constante. Pour e ∈ E ˇ
α (π), définissons
la fonction c e d’une variable complexe s par
c e (s) = Γ 0 (−μ(e) − −λ, ˇ
α)
(e) Γ 0 (μ(e) + λ, ˇ
α + s/2)
−(e)
Γ 0 (−μ(e) − −λ, ˇ
α − s/2)
−(e) Γ 0 (μ(e) + λ, ˇ
α + s)
(e) .
Il résulte des descriptions ci-dessus et de (1) et (2) que
c ˇ
α (π λ : Λ) =
e∈E ˇ
α(π)
c e (Λ, ˇ
α),
ρ(π λ : Λ, ˜
P
) =
ˇ
α∈ ˇ
Σ ,P |P (A ˜
M )
c ˇ
α (π λ ; Λ).
On peut alors utiliser le lemme 7.1 de [3] qui calcule ρ
˜
G
˜
M
(π λ ) sous la forme :
ρ
˜
G
˜
M
(π λ ) =
ˇ
α={ ˇ
αi;i=1,...,n}∈J
˜
G
˜
M
m(ˇ α)
i=1,...,n
e∈E ˇ
α i
(π)
c
e (0).
Le terme c
e (0) est la dérivée de c e évaluée en 0. On calcule
c
e (0) =
(e)
2
Γ
0 (μ(e) + λ, ˇ
α i )
Γ 0 (μ(e) + λ, ˇ
α i )
+
Γ
0 (−μ(e) − −λ, ˇ
α i )
Γ 0 (−μ(e) − −λ, ˇ
α i )
.