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Chapitre IX. Le cas archimédien
du choix de T . Soit ˜
π une ω-représentation de ˜
M (R), supposons comme en 5.1
que π est une sous-représentation d’une induite Ind
M
S (σ λ0 ), où S ∈ P
M (R), σ est
de la série discrète de R(R) et ω σ = 1 sur A R . Supposons que T est un sous-tore
maximal elliptique de R. Soit ˇ
α ∈ ˇ
Σ (A ˜
M ). Notons E ˇ
α (π) l’ensemble des β ∈ Σ(T )
qui sont réelles et telles que ˇ
β ˜
M = ˇ
α. Cet ensemble dépend de π car la notion de
racine réelle dépend de la structure sur R de T ; ce tore lui-même dépend de R qui
dépend de π. Pour tout β ∈ E ˇ
α (π), on a défini la fonction ρ β (π λ ) pour λ ∈ A
∗
M,C ,
a fortiori pour λ ∈ A
∗
˜
M,C
. Pour un tel λ, elle est de la forme
ρ β (π λ ) = Γ 0 (
λ 0 , ˇ
β
+ λ, ˇ
α)
(β)
où (β) ∈ {±1}. Nous noterons maintenant e au lieu de β les éléments de E ˇ
α (π).
Pour e = β, on pose (e) = (β) et μ(e) =
λ 0 , ˇ
β
. Remarquons que μ(e) est
imaginaire. La formule précédente devient
ρ e (π λ ) = Γ 0 (μ(e) + λ, ˇ
α)
(e) .
On pose
ρ ˇ
α (π λ ) =
e∈E ˇ
α(π)
ρ e (π λ ).
Remarquons qu’il y a une bijection naturelle de E − ˇ
α (π) sur E ˇ
α (π), que l’on peut
noter e → −e, de sorte que μ(−e) = −μ(e) et (−e) = (e). On a ainsi la formule
ρ − ˇ
α (π¯ λ ) = ρ ˇ
α (π λ ).
Pour ˜
P , ˜
P
∈ P( ˜
M ), on définit les sous-ensembles ˇ
Σ
UP
(A ˜
M ) et ˇ
Σ ,P |P (A ˜
M ) en
imitant les définitions de 5.1. Il résulte des constructions de ce paragraphe que
(1)
ρ P |P (π λ ) =
ˇ
α∈ ˇ
Σ ,P |P (A ˜
M )
ρ ˇ
α (π λ ).
Considérons ˜
P comme fixé. Pour Λ ∈ iA
∗
˜
M
, posons
(2)
ρ(π λ : Λ, ˜
P
) = ρ P |P (π λ )ρ P |P (π λ+Λ/2 )
−1 ρ P |P (π λ+Λ/2 )
−1 ρ P |P (π λ+Λ ).
Il résulte des définitions que l’on a l’égalité
M(π λ ; Λ, ˜
P
) = ρ(π λ : Λ, ˜
P
)M
rat (π λ ; Λ, ˜
P
).
La famille (ρ(π λ : Λ, ˜
P
)) ˜
P ∈P( ˜
M) est une ( ˜
G, ˜
M )-famille. Les descriptions ci-dessus
montrent qu’elle est d’une forme particulière pour laquelle le corollaire 6.5 de [2]
s’applique. C’est-à-dire que l’on a l’égalité
M
˜
G
˜
M
(π λ ) =
˜
L∈L( ˜
M)
ρ
˜
L
˜
M
(π λ )M
rat, ˜
G
˜
L
(π λ ).