IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1067
IX.5.3 L’application φ
rat, ˜
G
˜
M
On conserve la même situation. On vient de rappeler la définition de l’espace
C
∞
ac ( ˜
G(R)). On note C
∞
c ( ˜
G(R), K), resp. C
∞
ac ( ˜
G(R), K), le sous-espace des éléments de C
∞
c ( ˜
G(R)), resp. de C
∞
ac ( ˜
G(R)), qui sont K-finis à droite et à gauche.
On note I( ˜
G(R), ω, K), resp. I ac ( ˜
G(R), ω), I ac ( ˜
G(R), ω, K), le quotient de
C
∞
c ( ˜
G(R), K), resp. C
∞
ac ( ˜
G(R)), C
∞
ac ( ˜
G(R), K), par le sous-espace des éléments f
tels que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈ ˜
G(R) fortement régulier. On pose K
M =
K ∩ M (R).
Proposition. Il existe une unique application linéaire
φ
rat, ˜
G
˜
M
: C
∞
ac ( ˜
G(R)) → I ac ( ˜
M (R))
telle que, pour tout ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω) et tout X ∈ A ˜
M , on ait l’égalité
I
˜
M (˜ π, X, φ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ).
L’application φ
rat, ˜
G
˜
M
envoie C
∞
ac ( ˜
G(R), K) dans I ac ( ˜
M (R), K
M ).
Preuve. La preuve de la première assertion est la même que celle de la proposition
6.4 de [81]. Supposons f K-finie à droite et à gauche. Elle se décompose donc
selon un nombre fini de K-types, qui eux-mêmes se décomposent en un nombre
fini de K
M -types. Si ˜
π est l’induite d’une ω-représentation elliptique d’un espace
de Levi de ˜
M , il résulte des constructions que J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ) = 0 si aucun de
ces K
M -types n’apparaît dans π. Le théorème de Paley–Wiener de Delorme-Mezo
(repris en [81] 6.2) conduit alors à la seconde assertion.
De la définition résulte que
(1) soient f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω) ; alors la fonction X →
I
˜
M (˜ π, X, φ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) est de Schwartz sur A ˜
M .
Comme toujours, on élimine les choix de mesures de Haar en définissant plus
canoniquement une application
φ
rat, ˜
G
˜
M
: C
∞
ac ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) → I ac ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R)).
IX.5.4 Relation entre les applications φ
˜
G
˜
M
et φ
rat, ˜
G
˜
M
Fixons un sous-tore maximal T de M . Pour β ∈ Σ(T ), la coracine ˇ
β peut être
considérée comme une forme linéaire sur X
∗ (T ) ⊗ Z R et se restreint en une forme
linéaire ˇ
β ˜
M sur A
∗
˜
M
, autrement dit en un élément ˇ
β ˜
M ∈ A ˜
M . Notons ˇ
Σ (A ˜
M )
l’ensemble de ces restrictions ˇ
β ˜
M qui sont non nulles. Cet ensemble ne dépend pas
M
1067
IX.5.3 L’application φ
rat, ˜
G
˜
M
On conserve la même situation. On vient de rappeler la définition de l’espace
C
∞
ac ( ˜
G(R)). On note C
∞
c ( ˜
G(R), K), resp. C
∞
ac ( ˜
G(R), K), le sous-espace des éléments de C
∞
c ( ˜
G(R)), resp. de C
∞
ac ( ˜
G(R)), qui sont K-finis à droite et à gauche.
On note I( ˜
G(R), ω, K), resp. I ac ( ˜
G(R), ω), I ac ( ˜
G(R), ω, K), le quotient de
C
∞
c ( ˜
G(R), K), resp. C
∞
ac ( ˜
G(R)), C
∞
ac ( ˜
G(R), K), par le sous-espace des éléments f
tels que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈ ˜
G(R) fortement régulier. On pose K
M =
K ∩ M (R).
Proposition. Il existe une unique application linéaire
φ
rat, ˜
G
˜
M
: C
∞
ac ( ˜
G(R)) → I ac ( ˜
M (R))
telle que, pour tout ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω) et tout X ∈ A ˜
M , on ait l’égalité
I
˜
M (˜ π, X, φ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ).
L’application φ
rat, ˜
G
˜
M
envoie C
∞
ac ( ˜
G(R), K) dans I ac ( ˜
M (R), K
M ).
Preuve. La preuve de la première assertion est la même que celle de la proposition
6.4 de [81]. Supposons f K-finie à droite et à gauche. Elle se décompose donc
selon un nombre fini de K-types, qui eux-mêmes se décomposent en un nombre
fini de K
M -types. Si ˜
π est l’induite d’une ω-représentation elliptique d’un espace
de Levi de ˜
M , il résulte des constructions que J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ) = 0 si aucun de
ces K
M -types n’apparaît dans π. Le théorème de Paley–Wiener de Delorme-Mezo
(repris en [81] 6.2) conduit alors à la seconde assertion.
De la définition résulte que
(1) soient f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω) ; alors la fonction X →
I
˜
M (˜ π, X, φ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) est de Schwartz sur A ˜
M .
Comme toujours, on élimine les choix de mesures de Haar en définissant plus
canoniquement une application
φ
rat, ˜
G
˜
M
: C
∞
ac ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) → I ac ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R)).
IX.5.4 Relation entre les applications φ
˜
G
˜
M
et φ
rat, ˜
G
˜
M
Fixons un sous-tore maximal T de M . Pour β ∈ Σ(T ), la coracine ˇ
β peut être
considérée comme une forme linéaire sur X
∗ (T ) ⊗ Z R et se restreint en une forme
linéaire ˇ
β ˜
M sur A
∗
˜
M
, autrement dit en un élément ˇ
β ˜
M ∈ A ˜
M . Notons ˇ
Σ (A ˜
M )
l’ensemble de ces restrictions ˇ
β ˜
M qui sont non nulles. Cet ensemble ne dépend pas