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Chapitre IX. Le cas archimédien
On définit de même le caractère pondéré «rationnel»
J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) = trace(M
rat, ˜
G
˜
M
(π λ ) Ind
˜
G
˜
P
(˜ π λ , f)).
Il vérifie les mêmes propriétés que le précédent et on utilisera ces propriétés sans
plus de commentaires. Il n’est pas rationnel en λ car l’opérateur Ind
˜
G
˜
P
(˜ π λ , f) n’est
pas rationnel. Mais ce dernier est holomorphe en λ et à décroissance rapide dans les
bandes verticales, au sens suivant. Pour un espace vectoriel réel V de dimension
finie et pour une fonction ψ méromorphe sur le complexifié V C , on dit que ψ
est à décroissance rapide dans les bandes verticales si, pour tout sous-ensemble
compact Γ ⊂ V tel que cette fonction ψ n’ait pas de pôle dans Γ + iV , celle-ci est
à décroissance rapide sur cet ensemble. Les propriétés de l’opérateur M
rat, ˜
G
˜
M
(π λ )
entraînent les propriétés suivantes :
(2) J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) n’a qu’un nombre fini d’hyperplans polaires ;
(3) chacun de ces hyperplans est d’équation λ, ˇ
α = c où α est une racine de
A ˜
M dans G et c ∈ C ;
(4) λ → J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) est à décroissance rapide dans les bandes verticales.
Les hyperplans polaires dépendent de f . Toutefois, on a le raffinement suivant. Rappelons que, pour un ensemble fini Ω de K-types, on note C
∞
c ( ˜
G(R), Ω)
le sous-espace des f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) qui se transforment à droite et à gauche selon
des K-types appartenant à Ω, cf. [IV] 3.4. Alors
(5) soit Ω un ensemble fini de K-types ; alors il existe un ensemble fini d’hyperplans de la forme (3) tel que, pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), Ω), les hyperplans polaires
de J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) appartiennent à cet ensemble.
Le terme J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) n’a pas de pôle pour λ ∈ iA
∗
˜
M
. Pour X ∈ A ˜
M , on
peut définir
J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ) =
iA ∗
˜
M
J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f)e
−−λ,X dλ.
On obtient une fonction de Schwartz en X. On a défini en [81] 6.4 l’espace
C
∞
ac ( ˜
G(R)). C’est celui des fonctions f : ˜
G(R) → C telles que f (b ◦ H ˜
G ) ∈
C
∞
c ( ˜
G(R)) pour toute fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ). Comme en [81] 6.4, on peut étendre
la définition de J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ) par continuité à f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R)).
On a imposé à ˜
π d’être une induite ˜
π = Ind
˜
M
˜
S
(˜ σ) où ˜
σ est une ω-représentation elliptique de ˜
R(R). Par linéarité, les termes J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) et J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f )
s’étendent à ˜
π ∈ Ind
˜
M
˜
R
(D ell ( ˜
R(R), ω)), cf. [IV] 1.2. Il est plus ou moins clair que
ces termes sont invariants par l’action du groupe W
M ( ˜
M 0 ) sur cet espace. En
utilisant la version tempérée de la décomposition [IV] 1.2(2), on peut alors étendre
ces termes par linéarité à tout ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω).
Chapitre IX. Le cas archimédien
On définit de même le caractère pondéré «rationnel»
J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) = trace(M
rat, ˜
G
˜
M
(π λ ) Ind
˜
G
˜
P
(˜ π λ , f)).
Il vérifie les mêmes propriétés que le précédent et on utilisera ces propriétés sans
plus de commentaires. Il n’est pas rationnel en λ car l’opérateur Ind
˜
G
˜
P
(˜ π λ , f) n’est
pas rationnel. Mais ce dernier est holomorphe en λ et à décroissance rapide dans les
bandes verticales, au sens suivant. Pour un espace vectoriel réel V de dimension
finie et pour une fonction ψ méromorphe sur le complexifié V C , on dit que ψ
est à décroissance rapide dans les bandes verticales si, pour tout sous-ensemble
compact Γ ⊂ V tel que cette fonction ψ n’ait pas de pôle dans Γ + iV , celle-ci est
à décroissance rapide sur cet ensemble. Les propriétés de l’opérateur M
rat, ˜
G
˜
M
(π λ )
entraînent les propriétés suivantes :
(2) J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) n’a qu’un nombre fini d’hyperplans polaires ;
(3) chacun de ces hyperplans est d’équation λ, ˇ
α = c où α est une racine de
A ˜
M dans G et c ∈ C ;
(4) λ → J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) est à décroissance rapide dans les bandes verticales.
Les hyperplans polaires dépendent de f . Toutefois, on a le raffinement suivant. Rappelons que, pour un ensemble fini Ω de K-types, on note C
∞
c ( ˜
G(R), Ω)
le sous-espace des f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) qui se transforment à droite et à gauche selon
des K-types appartenant à Ω, cf. [IV] 3.4. Alors
(5) soit Ω un ensemble fini de K-types ; alors il existe un ensemble fini d’hyperplans de la forme (3) tel que, pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), Ω), les hyperplans polaires
de J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) appartiennent à cet ensemble.
Le terme J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) n’a pas de pôle pour λ ∈ iA
∗
˜
M
. Pour X ∈ A ˜
M , on
peut définir
J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ) =
iA ∗
˜
M
J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f)e
−−λ,X dλ.
On obtient une fonction de Schwartz en X. On a défini en [81] 6.4 l’espace
C
∞
ac ( ˜
G(R)). C’est celui des fonctions f : ˜
G(R) → C telles que f (b ◦ H ˜
G ) ∈
C
∞
c ( ˜
G(R)) pour toute fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ). Comme en [81] 6.4, on peut étendre
la définition de J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ) par continuité à f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R)).
On a imposé à ˜
π d’être une induite ˜
π = Ind
˜
M
˜
S
(˜ σ) où ˜
σ est une ω-représentation elliptique de ˜
R(R). Par linéarité, les termes J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) et J
rat, ˜
G
˜
M
(˜ π, X, f )
s’étendent à ˜
π ∈ Ind
˜
M
˜
R
(D ell ( ˜
R(R), ω)), cf. [IV] 1.2. Il est plus ou moins clair que
ces termes sont invariants par l’action du groupe W
M ( ˜
M 0 ) sur cet espace. En
utilisant la version tempérée de la décomposition [IV] 1.2(2), on peut alors étendre
ces termes par linéarité à tout ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (R), ω).