IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1065
et on définit comme ci-dessus
R
rat
P |P (π λ ) = ρ P |P (π λ )
−1 J P |P (π λ ) = r
rat
P |P (π λ )R P |P (π λ ).
Ces termes ont les mêmes propriétés que ci-dessus.
On a supposé π irréductible. Remarquons que l’on peut poser les mêmes
définitions pour une représentation π réductible qui est une sous-représentation
d’une induite Ind
M
S (σ λ0 ) comme ci-dessus.
IX.5.2 Caractères pondérés rationnels
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ), ˜
R un espace de Levi de ˜
M contenant ˜
M 0 et ˜
σ une ωreprésentation elliptique de ˜
R(R). Fixons un espace parabolique ˜
S ∈ P
˜
M ( ˜
R) et
posons ˜
π = Ind
˜
M
˜
S
(˜ σ). Fixons ˜
P ∈ P( ˜
M ) et soit λ ∈ A
∗
˜
M,C
. A la suite d’Arthur, on a
défini en [81] 2.7 un opérateur M
˜
G
˜
M
(π λ ) de l’espace de la représentation Ind
˜
G
˜
P
(π λ ),
qui est méromorphe en λ. Rappelons sa définition. La représentation sous-jacente
π de M (R) n’est pas irréductible en général, mais vérifie la dernière propriété du
paragraphe précédent. Pour ˜
P
∈ P( ˜
M ), on peut donc définir les termes r P |P (π λ )
etc. . . On pose μ P |P (π λ ) = r P |P (π λ )
−1 r P |P (π λ )
−1 . Pour Λ ∈ iA
∗
˜
M
, on définit
l’opérateur
M(π λ ; Λ, ˜
P
) = μ P |P (π λ )
−1 μ P |P (π λ+Λ/2 )J P |P (π λ )
−1 J P |P (π λ+Λ ).
La famille (M(π λ ; Λ, ˜
P
)) ˜
P ∈P( ˜
M) est une ( ˜
G, ˜
M )-famille à valeurs opérateurs.
L’opérateur M
˜
G
˜
M
(π λ ) est déduit de cette famille de la façon habituelle.
Avec les mêmes notations que ci-dessus, posons
μ
rat
P |P (π λ ) = r
rat
P |P (π λ )
−1 r
rat
P |P (π λ )
−1
et définissons l’opérateur
M
rat (π λ ; Λ, ˜
P
) = μ
rat
P |P (π λ )
−1 μ
rat
P |P (π λ+Λ/2 )R
rat
P |P (π λ )
−1 R
rat
P |P (π λ+Λ ).
La famille (M
rat (π λ ; Λ, ˜
P
)) ˜
P ∈P( ˜
M ) est encore une ( ˜
G, ˜
M )-famille à valeurs opérateurs. On en déduit encore un opérateur que l’on note M
rat, ˜
G
˜
M
(π λ ). Il est clair
qu’il est rationnel en λ. Ses hyperplans polaires sont d’équations λ, ˇ
α = c pour
les racines α de A ˜
M dans G. On a
(1) l’opérateur M
rat, ˜
G
˜
M
(π λ ) n’a pas de pôle pour λ ∈ iA
∗
˜
M
.
En effet, la démonstration de [14] proposition 2.3 s’applique.
Rappelons que l’on a fixé une fonction H ˜
M : ˜
M (R) → A ˜
M qui permet de
définir la ω-représentation ˜
π λ , cf. [IV] 1.1. Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), on a défini le
caractère pondéré de ˜
π λ par
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) = trace(M
˜
G
˜
M
(π λ ) Ind
˜
G
˜
P
(˜ π λ , f)).
M
1065
et on définit comme ci-dessus
R
rat
P |P (π λ ) = ρ P |P (π λ )
−1 J P |P (π λ ) = r
rat
P |P (π λ )R P |P (π λ ).
Ces termes ont les mêmes propriétés que ci-dessus.
On a supposé π irréductible. Remarquons que l’on peut poser les mêmes
définitions pour une représentation π réductible qui est une sous-représentation
d’une induite Ind
M
S (σ λ0 ) comme ci-dessus.
IX.5.2 Caractères pondérés rationnels
Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ), ˜
R un espace de Levi de ˜
M contenant ˜
M 0 et ˜
σ une ωreprésentation elliptique de ˜
R(R). Fixons un espace parabolique ˜
S ∈ P
˜
M ( ˜
R) et
posons ˜
π = Ind
˜
M
˜
S
(˜ σ). Fixons ˜
P ∈ P( ˜
M ) et soit λ ∈ A
∗
˜
M,C
. A la suite d’Arthur, on a
défini en [81] 2.7 un opérateur M
˜
G
˜
M
(π λ ) de l’espace de la représentation Ind
˜
G
˜
P
(π λ ),
qui est méromorphe en λ. Rappelons sa définition. La représentation sous-jacente
π de M (R) n’est pas irréductible en général, mais vérifie la dernière propriété du
paragraphe précédent. Pour ˜
P
∈ P( ˜
M ), on peut donc définir les termes r P |P (π λ )
etc. . . On pose μ P |P (π λ ) = r P |P (π λ )
−1 r P |P (π λ )
−1 . Pour Λ ∈ iA
∗
˜
M
, on définit
l’opérateur
M(π λ ; Λ, ˜
P
) = μ P |P (π λ )
−1 μ P |P (π λ+Λ/2 )J P |P (π λ )
−1 J P |P (π λ+Λ ).
La famille (M(π λ ; Λ, ˜
P
)) ˜
P ∈P( ˜
M) est une ( ˜
G, ˜
M )-famille à valeurs opérateurs.
L’opérateur M
˜
G
˜
M
(π λ ) est déduit de cette famille de la façon habituelle.
Avec les mêmes notations que ci-dessus, posons
μ
rat
P |P (π λ ) = r
rat
P |P (π λ )
−1 r
rat
P |P (π λ )
−1
et définissons l’opérateur
M
rat (π λ ; Λ, ˜
P
) = μ
rat
P |P (π λ )
−1 μ
rat
P |P (π λ+Λ/2 )R
rat
P |P (π λ )
−1 R
rat
P |P (π λ+Λ ).
La famille (M
rat (π λ ; Λ, ˜
P
)) ˜
P ∈P( ˜
M ) est encore une ( ˜
G, ˜
M )-famille à valeurs opérateurs. On en déduit encore un opérateur que l’on note M
rat, ˜
G
˜
M
(π λ ). Il est clair
qu’il est rationnel en λ. Ses hyperplans polaires sont d’équations λ, ˇ
α = c pour
les racines α de A ˜
M dans G. On a
(1) l’opérateur M
rat, ˜
G
˜
M
(π λ ) n’a pas de pôle pour λ ∈ iA
∗
˜
M
.
En effet, la démonstration de [14] proposition 2.3 s’applique.
Rappelons que l’on a fixé une fonction H ˜
M : ˜
M (R) → A ˜
M qui permet de
définir la ω-représentation ˜
π λ , cf. [IV] 1.1. Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), on a défini le
caractère pondéré de ˜
π λ par
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) = trace(M
˜
G
˜
M
(π λ ) Ind
˜
G
˜
P
(˜ π λ , f)).