1064
Chapitre IX. Le cas archimédien
Considérons une racine α réelle. Posons (α) = (−1)
Nα et
ρ α (π λ ) = Γ 0 (λ, ˇ
α)
(α) .
D’après la formule ci-dessus, on a
r α (π λ ) = ρ α (π λ )
2π
λ, ˇ
α
Nα
.
On définit ρ P |P (π λ ) comme les produit des ρ α (π λ ) sur les racines réelles α contenues dans Σ P |P (T ). On pose
r
rat
P |P (π λ ) = ρ P |P (π λ )
−1 r P |P (π λ ).
Il résulte des formules ci-dessus que r
rat
P |P (π λ ) est une fonction rationnelle en λ.
Remarquons qu’au contraire, la fonction ρ P |P (π λ ) peut avoir une infinité d’hyperplans polaires. On pose
R
rat
P |P (π λ ) = ρ P |P (π λ )
−1 J P |P (π λ ) = r
rat
P |P (π λ )R P |P (π λ ).
Cet opérateur est rationnel en λ. On entend par là la propriété suivante. On
peut réaliser les espaces des induites Ind
G
P (π λ ) et Ind
G
P (π λ ) comme des espaces de
fonctions sur K indépendants de λ. Ils sont munis de produits hermitiens définis
positifs. Soient e ∈ Ind
G
P (π λ ) et e
∈ Ind
G
P (π λ ) deux éléments K-finis. Alors le
produit hermitien
(e
, R
rat
P |P (π λ )(e))
est une fonction rationnelle en λ. On peut préciser que ses hyperplans polaires sont
d’équations λ, ˇ
α = c pour des racines α de A M dans G (la définition exacte de
ˇ
α n’ayant pas beaucoup d’importance). On prendra garde toutefois que les pôles
dépendent des K-types selon lesquels se transforment e et e
. En général, il n’y
a pas un nombre fini d’hyperplans hors desquels la fonction ci-dessus n’a pas de
pôle quels que soient e et e
.
Considérons maintenant le cas général où π est une représentation irréductible tempérée quelconque. On peut fixer
– un groupe de Levi R de M contenant M 0 et un sous-groupe parabolique
S ∈ P
M (R) ;
– une représentation σ de R(R), irréductible, de la série discrète et telle que
ω σ soit trivial sur A R ;
– un élément λ 0 ∈ iA
∗
R ;
de sorte que π soit une sous-représentation de l’induite Ind
M
S (σ λ0 ). Soient P, P
∈
P(M ) et λ ∈ A
∗
M,C . Notons Q et Q
les éléments de P(R) tels que Q ⊂ P , Q
⊂ P
,
Q ∩ M = Q
∩ M = S. On pose
ρ P |P (π λ ) = ρ Q |Q (σ λ0+λ ),
r
rat
P |P (π λ ) = r
rat
Q |Q (σ λ0+λ ),
Chapitre IX. Le cas archimédien
Considérons une racine α réelle. Posons (α) = (−1)
Nα et
ρ α (π λ ) = Γ 0 (λ, ˇ
α)
(α) .
D’après la formule ci-dessus, on a
r α (π λ ) = ρ α (π λ )
2π
λ, ˇ
α
Nα
.
On définit ρ P |P (π λ ) comme les produit des ρ α (π λ ) sur les racines réelles α contenues dans Σ P |P (T ). On pose
r
rat
P |P (π λ ) = ρ P |P (π λ )
−1 r P |P (π λ ).
Il résulte des formules ci-dessus que r
rat
P |P (π λ ) est une fonction rationnelle en λ.
Remarquons qu’au contraire, la fonction ρ P |P (π λ ) peut avoir une infinité d’hyperplans polaires. On pose
R
rat
P |P (π λ ) = ρ P |P (π λ )
−1 J P |P (π λ ) = r
rat
P |P (π λ )R P |P (π λ ).
Cet opérateur est rationnel en λ. On entend par là la propriété suivante. On
peut réaliser les espaces des induites Ind
G
P (π λ ) et Ind
G
P (π λ ) comme des espaces de
fonctions sur K indépendants de λ. Ils sont munis de produits hermitiens définis
positifs. Soient e ∈ Ind
G
P (π λ ) et e
∈ Ind
G
P (π λ ) deux éléments K-finis. Alors le
produit hermitien
(e
, R
rat
P |P (π λ )(e))
est une fonction rationnelle en λ. On peut préciser que ses hyperplans polaires sont
d’équations λ, ˇ
α = c pour des racines α de A M dans G (la définition exacte de
ˇ
α n’ayant pas beaucoup d’importance). On prendra garde toutefois que les pôles
dépendent des K-types selon lesquels se transforment e et e
. En général, il n’y
a pas un nombre fini d’hyperplans hors desquels la fonction ci-dessus n’a pas de
pôle quels que soient e et e
.
Considérons maintenant le cas général où π est une représentation irréductible tempérée quelconque. On peut fixer
– un groupe de Levi R de M contenant M 0 et un sous-groupe parabolique
S ∈ P
M (R) ;
– une représentation σ de R(R), irréductible, de la série discrète et telle que
ω σ soit trivial sur A R ;
– un élément λ 0 ∈ iA
∗
R ;
de sorte que π soit une sous-représentation de l’induite Ind
M
S (σ λ0 ). Soient P, P
∈
P(M ) et λ ∈ A
∗
M,C . Notons Q et Q
les éléments de P(R) tels que Q ⊂ P , Q
⊂ P
,
Q ∩ M = Q
∩ M = S. On pose
ρ P |P (π λ ) = ρ Q |Q (σ λ0+λ ),
r
rat
P |P (π λ ) = r
rat
Q |Q (σ λ0+λ ),