IX.5. Des variantes de l’application φ ˜
M
1063
où, pour = ±1, X ∗ (T ) ⊗ Z R)
est le sous-espace où l’élément non trivial σ de Γ R
agit par multiplication par . L’hypothèse d’ellipticité signifie que
(X ∗ (T ) ⊗ Z R)
+ = a M (R).
Posons h
M
R = (X ∗ (T ) ⊗ Z R)
− . On a
t(R) = a M (R) ⊕ ih
M
R
tandis que l’espace h R usuel est isomorphe à
h R = a M (R) ⊕ h
M
R .
Le paramètre μ(π) est la classe de conjugaison par le groupe de Weyl W
M relatif
à T d’un élément de it(R). Supposons que le caractère central ω π de π soit trivial
sur A M (on rappelle que ce groupe est la composante neutre pour la topologie
réelle de A M (R)). Alors μ(π) est la classe de conjugaison par W
M d’un élément
de h
M
R . On fixe un élément de cette classe. Notons Σ(T ) l’ensemble des racines de
T dans G. Pour P, P
∈ P(M ), notons Σ
UP (T ) le sous-ensemble des racines qui
apparaissent dans l’algèbre de Lie du radical unipotent de P et posons
Σ P |P (T ) = Σ
UP (T ) − (Σ
UP (T ) ∩ Σ
U P (T )).
Le groupe Γ R agit naturellement sur ces ensembles. Soit α ∈ Σ
UP (T ) dont l’orbite
(α) pour cette action ait deux éléments, autrement dit σ(α) = α. Quitte à échanger
α et σ(α), on peut supposer μ(π), σ(ˇ α) − ˇ
α ≤ 0. Pour λ ∈ A
∗
M,C , on pose
r (α) (π λ ) = 2π μ(π) + λ, ˇ
α
−1 .
Soit α ∈ Σ
UP (T ) dont l’orbite soit réduite à un élément, autrement dit σ(α) = α
(α est «réelle»). Remarquons qu’alors μ(π), ˇ
α = 0. On pose
r α (π λ ) = Γ R (λ, ˇ
α + N α )Γ R (λ, ˇ
α + N α + 1)
−1 ,
où Γ R est la fonction usuelle
Γ R (s) = π
−s/2 Γ(s/2),
et où N α est un élément de {0, 1} qui dépend de π et α. D’après [10] paragraphe
3, le facteur de normalisation r P |P (π λ ) est le produit des r (α) (π λ ) pour les orbites
(α) à deux éléments contenues dans Σ P |P (T ) et des r α (π λ ) pour les α réelles
contenues dans le même ensemble.
Définissons la fonction d’une variable complexe
Γ 0 (s) = Γ R (s)Γ R (s + 1)
−1 .
D’après la formule usuelle Γ(s + 1) = sΓ(s), on a
Γ 0 (s + 1) =
2π
s
Γ 0 (s)
−1 .
M
1063
où, pour = ±1, X ∗ (T ) ⊗ Z R)
est le sous-espace où l’élément non trivial σ de Γ R
agit par multiplication par . L’hypothèse d’ellipticité signifie que
(X ∗ (T ) ⊗ Z R)
+ = a M (R).
Posons h
M
R = (X ∗ (T ) ⊗ Z R)
− . On a
t(R) = a M (R) ⊕ ih
M
R
tandis que l’espace h R usuel est isomorphe à
h R = a M (R) ⊕ h
M
R .
Le paramètre μ(π) est la classe de conjugaison par le groupe de Weyl W
M relatif
à T d’un élément de it(R). Supposons que le caractère central ω π de π soit trivial
sur A M (on rappelle que ce groupe est la composante neutre pour la topologie
réelle de A M (R)). Alors μ(π) est la classe de conjugaison par W
M d’un élément
de h
M
R . On fixe un élément de cette classe. Notons Σ(T ) l’ensemble des racines de
T dans G. Pour P, P
∈ P(M ), notons Σ
UP (T ) le sous-ensemble des racines qui
apparaissent dans l’algèbre de Lie du radical unipotent de P et posons
Σ P |P (T ) = Σ
UP (T ) − (Σ
UP (T ) ∩ Σ
U P (T )).
Le groupe Γ R agit naturellement sur ces ensembles. Soit α ∈ Σ
UP (T ) dont l’orbite
(α) pour cette action ait deux éléments, autrement dit σ(α) = α. Quitte à échanger
α et σ(α), on peut supposer μ(π), σ(ˇ α) − ˇ
α ≤ 0. Pour λ ∈ A
∗
M,C , on pose
r (α) (π λ ) = 2π μ(π) + λ, ˇ
α
−1 .
Soit α ∈ Σ
UP (T ) dont l’orbite soit réduite à un élément, autrement dit σ(α) = α
(α est «réelle»). Remarquons qu’alors μ(π), ˇ
α = 0. On pose
r α (π λ ) = Γ R (λ, ˇ
α + N α )Γ R (λ, ˇ
α + N α + 1)
−1 ,
où Γ R est la fonction usuelle
Γ R (s) = π
−s/2 Γ(s/2),
et où N α est un élément de {0, 1} qui dépend de π et α. D’après [10] paragraphe
3, le facteur de normalisation r P |P (π λ ) est le produit des r (α) (π λ ) pour les orbites
(α) à deux éléments contenues dans Σ P |P (T ) et des r α (π λ ) pour les α réelles
contenues dans le même ensemble.
Définissons la fonction d’une variable complexe
Γ 0 (s) = Γ R (s)Γ R (s + 1)
−1 .
D’après la formule usuelle Γ(s + 1) = sΓ(s), on a
Γ 0 (s + 1) =
2π
s
Γ 0 (s)
−1 .