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Chapitre IX. Le cas archimédien
pour tout ˜
s apparaissant ci-dessus. Donc
lim
r→0+
B j (rH d , U) − B j (−rH d , U) − 2πi|α|B j (rH c , U)
= 0.
Cela étant vrai pour tout j, on a aussi
lim
r→0+
(B(rH d , U) − B(−rH d , U) − 2πi|α|B(rH c , U)) = 0.
Considérons l’égalité (9). Parce que φ est C
∞ , on a
lim
r→0+
(∂ U φ(rH d ) − ∂ U φ(−rH d )) = 0.
On en déduit
lim
r→0+
(∂ U I
K ˜
G,mod
K ˜
M
(exp(rH d )η, ω, f )
− ∂ U I
K ˜
G,mod
K ˜
M
(exp(−rH d )η, ω, f ) − 2πi|α|B(rH c , U)) = 0.
En utilisant (20), on obtient la première égalité de l’assertion (iv) de l’énoncé qu’il
restait à prouver.
IX.5 Des variantes de l’application φ ˜
M
IX.5.1 Normalisation partielle des opérateurs d’entrelacement
Pour la suite du chapitre, on suppose fixés une paire parabolique minimale ( ˜
P 0 , ˜
M 0 )
et un sous-groupe compact maximal K de G(R) en bonne position relativement
à M 0 .
Supposons fixées des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. Soit
M ∈ L(M 0 ) et π une représentation de M (R) irréductible et tempérée dans
un espace V π . Pour λ ∈ A
∗
M,C , on définit la représentation π λ par π λ (m) =
e
λ,HM (m) π(m). Soient P, P
∈ P(M ). On sait définir l’opérateur d’entrelacement
J P |P (π λ ) : Ind
G
P (π λ ) → Ind
G
P (π λ ). Il est méromorphe en λ. On sait normaliser
cet opérateur, cf. [10] théorème 2.1. L’opérateur normalisé R P |P (π λ ) est égal à
r P |P (π λ )
−1 J P |P (π λ ), où λ → r P |P (π λ ) est une fonction méromorphe à valeurs
dans C. Nous allons définir une normalisation partielle que l’on pourra plus facilement stabiliser.
Supposons que π soit de la série discrète. Cela implique que M possède un
sous-tore maximal elliptique et on fixe un tel sous-tore T . L’action de Γ R {±1}
décompose X ∗ (T ) Z ⊗ R en
X ∗ (T ) ⊗ Z R = (X ∗ (T ) ⊗ Z R)
+
⊕ (X ∗ (T ) ⊗ Z R)
− ,