IX.4. Propriétés locales
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alors U [y] = U , soit H c [y] = −H c et alors U [y] est l’image de U par la symétrie
w c de Sym(t). Dans ce cas, on a
lim
r→0+
∂ U [y] I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c [y])η, ω, f ) = − lim
r→0−
∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c )η, ω, f )
puisqu’on a supposé w d (U ) = −U , donc w c (U ) = −U . Mais on a déjà remarqué
que les deux dernières limites de l’assertion (iv) de l’énoncé étaient égales. C’està-dire que la limite ci-dessus n’est autre que
lim
r→0+
∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c )η, ω, f ).
Cela démontre la troisième assertion de (19).
Il résulte de (18) et (19) que
(20)
lim
r→0+
B(rH c , U) = 2
c(η) lim
r→0+
∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c )η, ω, f ).
Soit j ∈ J. En remplaçant X par rH c dans la formule (11) et en utilisant
4.4(4), on obtient
B j (rH c , U) =
˜
s∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))i
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s))|ˇ α(˜ s)||ˇ α|
−1
d(˜ s)
−1 ∂ U ˜
s
S
˜
G
1 (˜ s),mod
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ(˜ s, rH c )) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ).
Jointe à la formule (10), cette égalité entraîne
B j (rH d , U) − B j (−rH d , U) − 2πi|α|B j (rH c , U)
=
˜
s∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))d(˜ s)
−1 X(˜ s, r),
où
X(˜ s, r) = ∂ U˜ s S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(rξ j (H d ))η, f
˜
G
1 (˜ s) )
− ∂ U˜ s S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(−rξ j (H d ))η, f
˜
G
1 (˜ s) )
− 2πi|ˇ α(˜ s)|i
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s))∂ U ˜
s
S
˜
G
1 (˜ s),mod
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(rξ(˜ s, H c )) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ).
On a l’égalité C(˜ s)(ξ j (H d )) = iξ(˜ s, H c ). On est donc dans la situation où l’on peut
appliquer la proposition 4.2. Elle entraîne que
lim
r→0+
X(˜ s, r) = 0