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Chapitre IX. Le cas archimédien
tel élément, on peut donc supposer que cette image réciproque est T c . Mais cela
entraîne que T [y] = T . D’où la première assertion. Notons Y 1 = Y 0 ∩ M η . Parce
que I
M
η = T
θ M η , on voit que l’injection Y 1 → Y 0 induit une surjection
Y 1 → T
θ
\Y 0 /I
M
η (R).
Il s’en déduit une surjection
T
θ,0
\Y 1 /M η (R) → T
θ
\Y 0 /I
M
η (R).
Le premier ensemble classifie les classes de conjugaison par M η (R) dans la classe
de conjugaison stable de H c dans m η (R). Son nombre d’éléments est 2
c(η) . Ce
nombre est au plus 2 donc les fibres de la surjection ci-dessus ont forcément le
même nombre d’éléments. Le nombre d’éléments de q
−1 (1) est alors 2
c(η) divisé
par le nombre d’éléments d’une fibre. La fibre au-dessus de la classe T
θ I
M
η (R) est
F = T
θ,0
\(T
θ I
M
η (R) ∩ M η )/M η (R).
On définit une application de I
M
η (R) dans ce quotient de la façon suivante. Pour
x ∈ I
M
η (R), on choisit t ∈ T
θ tel que tx ∈ M η et on envoie x sur l’image de tx
dans F. Cette image ne dépend pas du choix de t. On vérifie que l’application ainsi
définie se quotiente en une bijection
T
θ (R)\I
M
η (R)/M η (R) → F.
Le nombre d’éléments du premier ensemble est
[I
M
η (R) : M η (R)][T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
−1 .
On a une application naturelle
T
θ (R)/T
θ,0 (R) → I
M
η (R)/M η (R).
Elle est clairement injective. Reprenons la preuve de (16). Tout élément x ∈ I
M
η
s’écrit de façon unique x = tn 1 ou x = n 2 wtn 1 avec les notations de cette preuve.
Si x ∈ I
M
η (R), l’unicité entraîne que ces éléments t, n 1 , n 2 sont tous définis sur R.
Les éléments n 1 , n 2 et w appartenant à M η (R) et ce groupe étant distingué dans
I
M
η (R), on voit que x et t ont même image modulo M η (R). Donc l’application
ci-dessus est surjective. D’où l’égalité
[I
M
η (R) : M η (R)] = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)].
En mettant ces calculs bout à bout, on obtient la deuxième assertion de (19). Il
résulte de la description ci-dessus que, pour y ∈ q
−1 (1), on a soit H c [y] = H c et
Chapitre IX. Le cas archimédien
tel élément, on peut donc supposer que cette image réciproque est T c . Mais cela
entraîne que T [y] = T . D’où la première assertion. Notons Y 1 = Y 0 ∩ M η . Parce
que I
M
η = T
θ M η , on voit que l’injection Y 1 → Y 0 induit une surjection
Y 1 → T
θ
\Y 0 /I
M
η (R).
Il s’en déduit une surjection
T
θ,0
\Y 1 /M η (R) → T
θ
\Y 0 /I
M
η (R).
Le premier ensemble classifie les classes de conjugaison par M η (R) dans la classe
de conjugaison stable de H c dans m η (R). Son nombre d’éléments est 2
c(η) . Ce
nombre est au plus 2 donc les fibres de la surjection ci-dessus ont forcément le
même nombre d’éléments. Le nombre d’éléments de q
−1 (1) est alors 2
c(η) divisé
par le nombre d’éléments d’une fibre. La fibre au-dessus de la classe T
θ I
M
η (R) est
F = T
θ,0
\(T
θ I
M
η (R) ∩ M η )/M η (R).
On définit une application de I
M
η (R) dans ce quotient de la façon suivante. Pour
x ∈ I
M
η (R), on choisit t ∈ T
θ tel que tx ∈ M η et on envoie x sur l’image de tx
dans F. Cette image ne dépend pas du choix de t. On vérifie que l’application ainsi
définie se quotiente en une bijection
T
θ (R)\I
M
η (R)/M η (R) → F.
Le nombre d’éléments du premier ensemble est
[I
M
η (R) : M η (R)][T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
−1 .
On a une application naturelle
T
θ (R)/T
θ,0 (R) → I
M
η (R)/M η (R).
Elle est clairement injective. Reprenons la preuve de (16). Tout élément x ∈ I
M
η
s’écrit de façon unique x = tn 1 ou x = n 2 wtn 1 avec les notations de cette preuve.
Si x ∈ I
M
η (R), l’unicité entraîne que ces éléments t, n 1 , n 2 sont tous définis sur R.
Les éléments n 1 , n 2 et w appartenant à M η (R) et ce groupe étant distingué dans
I
M
η (R), on voit que x et t ont même image modulo M η (R). Donc l’application
ci-dessus est surjective. D’où l’égalité
[I
M
η (R) : M η (R)] = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)].
En mettant ces calculs bout à bout, on obtient la deuxième assertion de (19). Il
résulte de la description ci-dessus que, pour y ∈ q
−1 (1), on a soit H c [y] = H c et