IX.4. Propriétés locales
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l’image dans ˆ
G AD soit la même que celle de t. Parce que ˜
T est elliptique dans
˜
M , on a l’égalité Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ,0
sc
= ˆ
T
Γ R , ˆ
θ,0
sc
. L’élément t sc s’envoie donc sur un élément
¯
t sc ∈ ˆ ¯
T sc ⊂ ˆ
M η,sc . On voit comme en 4.2 que l’hypothèse t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ entraîne que
¯
t sc ∈ Z( ˆ
M sc )
Γ R . On note u(t) son image dans le groupe des composantes connexes
π 0 (Z( ˆ
M sc )
Γ R ). Le calcul de [III] 8.4 montre que
d( ˜
ζ j t, y)d( ˜
ζ j t)
−1 = d( ˜
ζ j , y)d( ˜
ζ j )
−1
τ [y], u(t) ,
le produit étant celui sur
H
1 (Γ R ; M η,ad ) × π 0 (Z( ˆ
M sc )
Γ R ).
Il reste à prouver que l’application t → →τ [y], u(t) est un caractère non trivial
de Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ . La preuve est similaire à celle de 4.2(18) et on la laisse au
lecteur.
Il résulte évidemment de (17) que d(y) = 0 pour tout y ∈ ˙
Y
M (η). Finalement
d(1) = 1 et d(y) = 0 pour tout y = 1. La formule (14) devient simplement
γ rHc,U = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
y∈q −1 (1)
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1
∂ U [y] I
K ˜
M (exp(rH c [y])η), ω, .).
La formule (13), évaluée pour X = exp(rH c ), devient
(18)
B(rH c , U) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
y∈q −1 (1)
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1
∂ U [y] I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c [y])η, ω, f ).
Montrons que
(19) on peut supposer que T [y] = T pour tout y ∈ q
−1 (1) ; le nombre d’éléments
de q
−1 (1) est égal à
2
c(η) [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
−1 [T
θ (R) : T
θ,0 (R)];
la limite
lim
r→0+
∂ U [y] I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c [y])η, ω, f )
ne dépend pas de y ∈ q
−1 (1).
Notons Y 0 l’ensemble des y ∈ I
M
η tels que yσ(y)
−1
∈ T
θ . D’après les définitions, q
−1 (y) est un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes
T
θ
\Y 0 /I
M
η (R). Pour y ∈ q
−1 (1), l’image réciproque de T [y] dans M η,SC est un
sous-tore maximal de ce groupe, qui est défini sur R et non déployé. Il est donc
conjugué à T c par un élément de M η,SC (R). Quitte à multiplier y à droite par un
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l’image dans ˆ
G AD soit la même que celle de t. Parce que ˜
T est elliptique dans
˜
M , on a l’égalité Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ,0
sc
= ˆ
T
Γ R , ˆ
θ,0
sc
. L’élément t sc s’envoie donc sur un élément
¯
t sc ∈ ˆ ¯
T sc ⊂ ˆ
M η,sc . On voit comme en 4.2 que l’hypothèse t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ entraîne que
¯
t sc ∈ Z( ˆ
M sc )
Γ R . On note u(t) son image dans le groupe des composantes connexes
π 0 (Z( ˆ
M sc )
Γ R ). Le calcul de [III] 8.4 montre que
d( ˜
ζ j t, y)d( ˜
ζ j t)
−1 = d( ˜
ζ j , y)d( ˜
ζ j )
−1
τ [y], u(t) ,
le produit étant celui sur
H
1 (Γ R ; M η,ad ) × π 0 (Z( ˆ
M sc )
Γ R ).
Il reste à prouver que l’application t → →τ [y], u(t) est un caractère non trivial
de Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ . La preuve est similaire à celle de 4.2(18) et on la laisse au
lecteur.
Il résulte évidemment de (17) que d(y) = 0 pour tout y ∈ ˙
Y
M (η). Finalement
d(1) = 1 et d(y) = 0 pour tout y = 1. La formule (14) devient simplement
γ rHc,U = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
y∈q −1 (1)
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1
∂ U [y] I
K ˜
M (exp(rH c [y])η), ω, .).
La formule (13), évaluée pour X = exp(rH c ), devient
(18)
B(rH c , U) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
y∈q −1 (1)
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1
∂ U [y] I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c [y])η, ω, f ).
Montrons que
(19) on peut supposer que T [y] = T pour tout y ∈ q
−1 (1) ; le nombre d’éléments
de q
−1 (1) est égal à
2
c(η) [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
−1 [T
θ (R) : T
θ,0 (R)];
la limite
lim
r→0+
∂ U [y] I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c [y])η, ω, f )
ne dépend pas de y ∈ q
−1 (1).
Notons Y 0 l’ensemble des y ∈ I
M
η tels que yσ(y)
−1
∈ T
θ . D’après les définitions, q
−1 (y) est un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes
T
θ
\Y 0 /I
M
η (R). Pour y ∈ q
−1 (1), l’image réciproque de T [y] dans M η,SC est un
sous-tore maximal de ce groupe, qui est défini sur R et non déployé. Il est donc
conjugué à T c par un élément de M η,SC (R). Quitte à multiplier y à droite par un