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Chapitre IX. Le cas archimédien
est injective. Notons Z le centre de I
M
η . Alors I
M
η /Z = M η,AD et on sait que ce
groupe est P GL(2). L’image T ad de T
θ dans ce groupe est un sous-tore maximal
déployé. On a donc H
1 (Γ R ; T ad ) = {0}. Donc l’application naturelle H
1 (Γ R ; Z) →
H
1 (Γ R ; T
θ ) est surjective. Soient u et v deux cocycles à valeurs dans Z. Supposons que leurs images dans H
1 (Γ R ; I
M
η ) soient égales. On doit prouver que
leurs images dans H
1 (Γ R ; T
θ ) le sont. L’hypothèse signifie qu’il existe x ∈ I
M
η
tel que u(σ) = xv(σ)σ(x)
−1 pour tout σ ∈ Γ R . Puisque u est à valeurs centrales, cela équivaut à σ(x)u(σ)v(σ)
−1 = x. Introduisons un sous-groupe de Borel
B ad = T ad U de M η,AD de tore T ad et relevons-le en un sous-groupe B = T
θ U
de I
M
η . Ces groupes sont définis sur R. Puisque M η,SC SL(2), il existe un élément w ∈ M η,SC (R) tel que l’élément x s’écrive de façon unique tn 1 ou n 2 wtn 1 ,
avec t ∈ T
θ et n 1 , n 2 ∈ U . Supposons par exemple x = n 2 wtn 1 . On a alors
σ(n 2 )wσ(t)u(σ)v(σ)
−1 σ(n 1 ) = x. Cela fournit une autre décomposition de x. Par
unicité, on en déduit σ(t)u(σ)v(σ)
−1 = t, ou encore u(σ) = tv(σ)σ(t)
−1 . Donc les
images de u et v dans H
1 (Γ R ; T
θ ) sont égales comme on le voulait. Cela démontre
l’injectivité. La deuxième assertion de (16) se démontre comme en 4.2(17).
Il résulte de (16) que l’on peut supposer ˙
Y
M (η) ⊂ ˙
Y
M (η). Soit y ∈ ˙
Y
M (η).
Pour j ∈ J et ˜
t ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ , on a les égalités
d( ˜
t, y)d( ˜
t)
−1 = d( ˜
t, y)d( ˜
t, 1)
−1 = d j (y),
avec les notations de 4.4. On en déduit
d(y) = |J|
−1
j∈J
d j (y).
L’assertion 4.4(3) nous dit que cette somme est nulle si y = 1 et qu’elle vaut 1 si
y = 1. Montrons que
(17) pour y ∈ ˙
Y
M (η), y ∈ ˙
Y
M (η), et pour tout j ∈ J, on a l’égalité
˜
t∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ
d( ˜
t, y)d( ˜
t)
−1 = 0.
Comme en 4.2(18), c’est un cas particulier de la proposition [III] 8.4. Soit
p ∈ Π
M tel que y ∈ Y
M
p (η). Le cocycle σ → y∇ p (σ)σ(y)
−1 , à valeurs dans I
M
η , se
pousse en un cocycle à valeurs dans M η,ad , ce groupe étant l’image de M η dans
G AD . On note τ [y] sa classe. Notons ici ˆ
T le tore dual de T . On peut le considérer
comme celui de la paire de Borel épinglée ˆ
E, muni d’une action galoisienne tordue.
Posons ˆ ¯
T = ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). Puisque T est un sous-tore maximal de M et que
T
θ,0 est un sous-tore maximal de M η , on a des plongements ˆ
T → ˆ
M et ˆ ¯
T ⊂
ˆ
M η . En prenant les images réciproques dans ˆ
G SC , on a encore des plongements
ˆ
T sc → ˆ
M sc et ˆ ¯
T sc ⊂ ˆ
M η,sc . Soit t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ . On choisit t sc ∈ Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ,0
sc
dont
Chapitre IX. Le cas archimédien
est injective. Notons Z le centre de I
M
η . Alors I
M
η /Z = M η,AD et on sait que ce
groupe est P GL(2). L’image T ad de T
θ dans ce groupe est un sous-tore maximal
déployé. On a donc H
1 (Γ R ; T ad ) = {0}. Donc l’application naturelle H
1 (Γ R ; Z) →
H
1 (Γ R ; T
θ ) est surjective. Soient u et v deux cocycles à valeurs dans Z. Supposons que leurs images dans H
1 (Γ R ; I
M
η ) soient égales. On doit prouver que
leurs images dans H
1 (Γ R ; T
θ ) le sont. L’hypothèse signifie qu’il existe x ∈ I
M
η
tel que u(σ) = xv(σ)σ(x)
−1 pour tout σ ∈ Γ R . Puisque u est à valeurs centrales, cela équivaut à σ(x)u(σ)v(σ)
−1 = x. Introduisons un sous-groupe de Borel
B ad = T ad U de M η,AD de tore T ad et relevons-le en un sous-groupe B = T
θ U
de I
M
η . Ces groupes sont définis sur R. Puisque M η,SC SL(2), il existe un élément w ∈ M η,SC (R) tel que l’élément x s’écrive de façon unique tn 1 ou n 2 wtn 1 ,
avec t ∈ T
θ et n 1 , n 2 ∈ U . Supposons par exemple x = n 2 wtn 1 . On a alors
σ(n 2 )wσ(t)u(σ)v(σ)
−1 σ(n 1 ) = x. Cela fournit une autre décomposition de x. Par
unicité, on en déduit σ(t)u(σ)v(σ)
−1 = t, ou encore u(σ) = tv(σ)σ(t)
−1 . Donc les
images de u et v dans H
1 (Γ R ; T
θ ) sont égales comme on le voulait. Cela démontre
l’injectivité. La deuxième assertion de (16) se démontre comme en 4.2(17).
Il résulte de (16) que l’on peut supposer ˙
Y
M (η) ⊂ ˙
Y
M (η). Soit y ∈ ˙
Y
M (η).
Pour j ∈ J et ˜
t ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ , on a les égalités
d( ˜
t, y)d( ˜
t)
−1 = d( ˜
t, y)d( ˜
t, 1)
−1 = d j (y),
avec les notations de 4.4. On en déduit
d(y) = |J|
−1
j∈J
d j (y).
L’assertion 4.4(3) nous dit que cette somme est nulle si y = 1 et qu’elle vaut 1 si
y = 1. Montrons que
(17) pour y ∈ ˙
Y
M (η), y ∈ ˙
Y
M (η), et pour tout j ∈ J, on a l’égalité
˜
t∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ
d( ˜
t, y)d( ˜
t)
−1 = 0.
Comme en 4.2(18), c’est un cas particulier de la proposition [III] 8.4. Soit
p ∈ Π
M tel que y ∈ Y
M
p (η). Le cocycle σ → y∇ p (σ)σ(y)
−1 , à valeurs dans I
M
η , se
pousse en un cocycle à valeurs dans M η,ad , ce groupe étant l’image de M η dans
G AD . On note τ [y] sa classe. Notons ici ˆ
T le tore dual de T . On peut le considérer
comme celui de la paire de Borel épinglée ˆ
E, muni d’une action galoisienne tordue.
Posons ˆ ¯
T = ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). Puisque T est un sous-tore maximal de M et que
T
θ,0 est un sous-tore maximal de M η , on a des plongements ˆ
T → ˆ
M et ˆ ¯
T ⊂
ˆ
M η . En prenant les images réciproques dans ˆ
G SC , on a encore des plongements
ˆ
T sc → ˆ
M sc et ˆ ¯
T sc ⊂ ˆ
M η,sc . Soit t ∈ Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ . On choisit t sc ∈ Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ,0
sc
dont