IX.4. Propriétés locales
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On peut maintenant remplacer X par exp(rH c ) pour r réel non nul et proche de
0, tous les termes étant continus en un tel point. En utilisant les relations (4) et
(5) de 4.4, on obtient
transfert(δ rHc,U, ˜
t ) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
d( ˜
t, q(y))d( ˜
t)
−1 [T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1
∂ U[y] I
K ˜
M (exp(rH c [y])η[q(y)]), ω, .).
Pour tout y ∈ ˙
Y
M (η), posons
d(y) = m
−1
|J|
−1
j∈J
˜
t∈ ˜
ζj Z( ˆ
M) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ
d( ˜
t, y)d( ˜
t)
−1 .
Les définitions entraînent alors
(14)
γ rHc,U = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
d(q(y))[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1
∂ U[y] I
K ˜
M (exp(rH c [y])η[q(y)]), ω, .).
Considérons un élément X ∈ t(R) ∩ g η,reg (R) proche de 0. On a I
M
η = T
θ =
I
M
exp(X)η . On peut donc supposer ˙
Y
M (exp(X)η) = ˙
Y
M (η). On a l’égalité I
M
η =
I
M
η ∩ M . Il en résulte que, pour tout p ∈ Π
M , on a une application naturelle
(15)
I
M
η \Y
M
p (η)/φ p (M p (R)) → I
M
η \Y
M
p (η)/φ p (M p (R)).
Montrons que
(16) cette application est injective ; son image est l’image dans l’espace d’arrivée
de l’ensemble des y ∈ Y
M
p (η) tels que M η[y],SC soit isomorphe à SL(2).
Considérons l’application qui, à y ∈ Y
M
p (η), associe la classe du cocycle
σ → y∇ p (σ)σ(y)
−1 . Elle se quotiente en une bijection I
M
η \Y
M
p (η)/φ p (M p (R)) sur
l’image réciproque de la classe du cocycle ∇ p par l’application
H
1 (Γ R ; T
θ ) → H
1 (Γ R ; M ).
De même, on a une bijection de I
M
η \Y
M
p (η)/φ p (M p (R)) sur l’image réciproque de
la classe du cocycle ∇ p par l’application
H
1 (Γ R ; I
M
η ) → H
1 (Γ R ; M ).
Pour prouver l’injectivité de (15), il suffit de prouver que l’application
H
1 (Γ R ; T
θ ) → H
1 (Γ R ; I
M
η )