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Chapitre IX. Le cas archimédien
La formule (12) entraîne
(13)
B(X, U) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ X,U , f).
On va calculer la distribution γ X,U . Supposons l’élément exp(X)η fortement
régulier. L’ensemble Y
M (exp(X)η) introduit en 4.4 ne dépend par définition que
de ˜
T . D’autre part, l’inclusion I
M
exp(X)η ⊂ I
M
η entraîne l’inclusion Y
M (exp(X)η) ⊂
Y
M (η). On peut donc d’une part choisir l’ensemble ˙
Y
M (exp(X)η) indépendant de
X et on le note plutôt ˙
Y
M ( ˜
T ) ; d’autre part supposer qu’il existe une application
q : ˙
Y
M ( ˜
T ) → ˙
Y
M (η)
de sorte que, pour y ∈ ˙
Y
M ( ˜
T ), q(y) soit l’unique élément de I
M
η y ∩ ˙
Y
M (η). On
utilise des notations similaires à celles de 4.1 : pour p ∈ Π
M et y ∈ ˙
Y
M
p ( ˜
T ), on pose
˜
T [y] = ˜
φ
−1
p ◦ ad y −1 ( ˜
T ) et on note simplement x → x[y] l’isomorphisme φ
−1
p ◦ ad y −1
de T sur T [y].
Soient j ∈ J et ˜
t ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ . Supposons comme ci-dessus l’élément exp(X)η fortement régulier. Puisque ˜
T est un sous-tore tordu maximal et
elliptique dans ˜
M , l’élément exp(X)η est elliptique dans ˜
M (R).
Notons δ
X, ˜
t l’élément de D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
( ˜
t)) auquel s’identifie la distribution
S
˜
M
1 ( ˜
t)
λ1( ˜
t)
(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), .). D’après [I] 4.9(4), on a l’égalité
transfert(δ
X, ˜
t ) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X[y])η[q(y)])
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1 I
K ˜
M (exp(X[y])η[q(y)]), ω, .).
Notons δ
X,U, ˜
t l’élément de D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
( ˜
t)) auquel s’identifie la distribution
∂ U ˜
t
S
˜
M
1 ( ˜
t)
λ1( ˜
t)
(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), .).
Alors
transfert(δ
X,U, ˜
t ) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X[y])η[q(y)])
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1 ∂ U [y] I
K ˜
M (exp(X[y])η[q(y)]), ω, .).
Comme en 4.2, l’opérateur U [y] apparaissant ici n’est autre que le transporté de
U par l’isomorphisme x → x[y] de T sur T [y]. Pour obtenir le transfert de δ X,U, ˜
t ,
il reste à diviser par Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X)η). D’où
transfert(δ X,U, ˜
t ) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X[y])η[q(y)])
Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X)η)
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1 ∂ U [y] I
K ˜
M (exp(X[y])η[q(y)]), ω, .).
Chapitre IX. Le cas archimédien
La formule (12) entraîne
(13)
B(X, U) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ X,U , f).
On va calculer la distribution γ X,U . Supposons l’élément exp(X)η fortement
régulier. L’ensemble Y
M (exp(X)η) introduit en 4.4 ne dépend par définition que
de ˜
T . D’autre part, l’inclusion I
M
exp(X)η ⊂ I
M
η entraîne l’inclusion Y
M (exp(X)η) ⊂
Y
M (η). On peut donc d’une part choisir l’ensemble ˙
Y
M (exp(X)η) indépendant de
X et on le note plutôt ˙
Y
M ( ˜
T ) ; d’autre part supposer qu’il existe une application
q : ˙
Y
M ( ˜
T ) → ˙
Y
M (η)
de sorte que, pour y ∈ ˙
Y
M ( ˜
T ), q(y) soit l’unique élément de I
M
η y ∩ ˙
Y
M (η). On
utilise des notations similaires à celles de 4.1 : pour p ∈ Π
M et y ∈ ˙
Y
M
p ( ˜
T ), on pose
˜
T [y] = ˜
φ
−1
p ◦ ad y −1 ( ˜
T ) et on note simplement x → x[y] l’isomorphisme φ
−1
p ◦ ad y −1
de T sur T [y].
Soient j ∈ J et ˜
t ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ . Supposons comme ci-dessus l’élément exp(X)η fortement régulier. Puisque ˜
T est un sous-tore tordu maximal et
elliptique dans ˜
M , l’élément exp(X)η est elliptique dans ˜
M (R).
Notons δ
X, ˜
t l’élément de D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
( ˜
t)) auquel s’identifie la distribution
S
˜
M
1 ( ˜
t)
λ1( ˜
t)
(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), .). D’après [I] 4.9(4), on a l’égalité
transfert(δ
X, ˜
t ) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X[y])η[q(y)])
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1 I
K ˜
M (exp(X[y])η[q(y)]), ω, .).
Notons δ
X,U, ˜
t l’élément de D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
( ˜
t)) auquel s’identifie la distribution
∂ U ˜
t
S
˜
M
1 ( ˜
t)
λ1( ˜
t)
(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), .).
Alors
transfert(δ
X,U, ˜
t ) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X[y])η[q(y)])
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1 ∂ U [y] I
K ˜
M (exp(X[y])η[q(y)]), ω, .).
Comme en 4.2, l’opérateur U [y] apparaissant ici n’est autre que le transporté de
U par l’isomorphisme x → x[y] de T sur T [y]. Pour obtenir le transfert de δ X,U, ˜
t ,
il reste à diviser par Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X)η). D’où
transfert(δ X,U, ˜
t ) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X[y])η[q(y)])
Δ 1 ( ˜
t)(exp(ξ( ˜
t, X)) 1 ( ˜
t), exp(X)η)
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1 ∂ U [y] I
K ˜
M (exp(X[y])η[q(y)]), ω, .).