IX.4. Propriétés locales
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Soit U ∈ Sym(t
θ ) tel que w d (U ) = −U , posons U = C(U ). Pour X ∈
t(R) ∩ g η (R), posons
(11) B j (X, U) =
˜
s∈ ˜
ζj Z( ˆ
M) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))i
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s))|ˇ α(˜ s)||ˇ α|
−1
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ(˜ s, X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1 ∂ U ˜
s
S
˜
G
1 (˜ s),mod
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ(˜ s, X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ),
où U ˜
s = Ξ(˜ s, U ) = C(˜ s) ◦ Ξ(˜ s)(U ). Comme plus haut, on décompose
B j (X, U ) =
˜
t∈ ˜
ζj Z( ˆ
M) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ
B j (X, U, ˜
t),
où
B j (X, U, ˜
t) =
˜
s∈ ˜
tZ( ˆ
M) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))i
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s))|ˇ α(˜ s)||ˇ α|
−1
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ(˜ s, X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1 ∂ U ˜
s
S
˜
G
1 (˜ s),mod
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ(˜ s, X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ).
Fixons ˜
t ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ . Pour simplifier la notation, on considère que
˜
t est l’un des éléments de la sommation en ˜
s. Pour ˜
s ∈ ˜
tZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ ,
les données M
1 (˜ s),. . .,Δ 1 (˜ s) sont différentes données auxiliaires pour une même
donnée endospcopique elliptique M
( ˜
t) de (M , ˜
M , a). Les distributions
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ(˜ s, X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1 ∂ U ˜
s
S
˜
M
1 (˜ s)
λ1(˜ s) (exp(ξ(˜ s, X)) 1 (˜ s), .)
se recollent en une même distribution δ X,U, ˜
t ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
( ˜
t)). En utilisant
(5), on obtient
(12)
B j (X, U, ˜
t) = m
−1 I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
( ˜
t), δ X,U , ˜
t , f)
= m
−1 I
K ˜
G,E
K ˜
M
(transfert(δ X,U , ˜
t ), f).
On pose
γ X,U,j = m
−1
˜
t∈ ˜
ζj Z( ˆ
M) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ
transfert(δ X,U , ˜
t ),
γ X,U = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
γ X,U,j ,
B(X, U ) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
B j (X, U ).