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Chapitre IX. Le cas archimédien
Les deux premières assertions de l’énoncé résultent de ces formules. En effet,
elles sont vérifiées pour la fonction φ qui est C
∞ . Elles le sont d’après la proposition
4.2 pour les intégrales orbitales stables modifiées qui figurent dans la définition des
fonctions B j (rH d , U). Les assertions sont donc vérifiées pour la fonction B(rH d , U)
et la conclusion s’ensuit.
La troisième assertion de l’énoncé se prouve comme en 4.2. Puisque η, vu
comme un élément de ˜
M (R), est ˜
G-équisingulier, il existe une fonction ϕ ∈
C
∞
c ( ˜
M (R)) telle que, pour tout X ∈ m η (R) assez proche de 0, on ait l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = I
˜
M (exp(X)η, ω, ϕ).
L’assertion (iii) résulte des propriétés bien connues des intégrales orbitales. Le
même argument démontre l’égalité des deux dernières limites de l’assertion (iv).
Il reste à prouver la première égalité de cette assertion. Soient j ∈ J et
˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ . Le sous-tore T c de G η,SC se transfère en un sous-tore de ¯
G
(¯ s)
(cf. 4.4), qui se transfère lui-même en un sous-tore T c (˜ s) de G
(˜ s) j ,SC . Notons
T
(˜ s) le commutant dans G
(˜ s) j de l’image de T c (˜ s) dans ce groupe et posons
˜
T
(˜ s) = T
(˜ s) j . Les paires (T , ˜
T ) et (T
(˜ s), ˜
T
(˜ s)) sont dans la même situation que
les paires (T, ˜
T ) et (T
j , ˜
T
j ). C’est-à-dire qu’il y a un homomorphisme ξ(˜ s) : T →
T
(˜ s) et une application compatible ˜
ξ(˜ s) : ˜
T → ˜
T
(˜ s) qui vérifient les conditions
suivantes. Ils sont définis sur R. On a ˜
ξ(˜ s)(η) = j . Pour tout γ ∈ ˜
T (R), les
éléments γ et ˜
ξ(˜ s)(γ) se correspondent. De plus, ξ(˜ s) coïncide avec ξ j sur Z(G η )
0 .
De même que l’on a introduit un isomorphisme C : T → T défini sur C, on
introduit un isomorphisme C(˜ s) : T
j → T
(˜ s). Il est plus ou moins clair que l’on
peut le choisir tel que le diagramme suivant soit commutatif
T
ξj
→
T
j
C ↓
C(˜ s) ↓
T
ξ(˜ s)
→ T
(˜ s) .
On a déjà fixé une décomposition t
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ t
j provenant comme en 3.1 d’une
décomposition d’algèbres de Lie
g
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ g
(˜ s).
On déduit de cette dernière une décomposition
t
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ t
(˜ s).
Avec des notations compréhensibles au moins par l’auteur, on a alors le diagramme
Sym(t
θ )
Ξ(˜ s)
→
Sym(t
j )
C ↓
C(˜ s) ↓
Sym(t
θ )
Ξ(˜ s)
→ Sym(t
(˜ s))
qui est commutatif pour la même raison qu’en 4.2
Chapitre IX. Le cas archimédien
Les deux premières assertions de l’énoncé résultent de ces formules. En effet,
elles sont vérifiées pour la fonction φ qui est C
∞ . Elles le sont d’après la proposition
4.2 pour les intégrales orbitales stables modifiées qui figurent dans la définition des
fonctions B j (rH d , U). Les assertions sont donc vérifiées pour la fonction B(rH d , U)
et la conclusion s’ensuit.
La troisième assertion de l’énoncé se prouve comme en 4.2. Puisque η, vu
comme un élément de ˜
M (R), est ˜
G-équisingulier, il existe une fonction ϕ ∈
C
∞
c ( ˜
M (R)) telle que, pour tout X ∈ m η (R) assez proche de 0, on ait l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = I
˜
M (exp(X)η, ω, ϕ).
L’assertion (iii) résulte des propriétés bien connues des intégrales orbitales. Le
même argument démontre l’égalité des deux dernières limites de l’assertion (iv).
Il reste à prouver la première égalité de cette assertion. Soient j ∈ J et
˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ . Le sous-tore T c de G η,SC se transfère en un sous-tore de ¯
G
(¯ s)
(cf. 4.4), qui se transfère lui-même en un sous-tore T c (˜ s) de G
(˜ s) j ,SC . Notons
T
(˜ s) le commutant dans G
(˜ s) j de l’image de T c (˜ s) dans ce groupe et posons
˜
T
(˜ s) = T
(˜ s) j . Les paires (T , ˜
T ) et (T
(˜ s), ˜
T
(˜ s)) sont dans la même situation que
les paires (T, ˜
T ) et (T
j , ˜
T
j ). C’est-à-dire qu’il y a un homomorphisme ξ(˜ s) : T →
T
(˜ s) et une application compatible ˜
ξ(˜ s) : ˜
T → ˜
T
(˜ s) qui vérifient les conditions
suivantes. Ils sont définis sur R. On a ˜
ξ(˜ s)(η) = j . Pour tout γ ∈ ˜
T (R), les
éléments γ et ˜
ξ(˜ s)(γ) se correspondent. De plus, ξ(˜ s) coïncide avec ξ j sur Z(G η )
0 .
De même que l’on a introduit un isomorphisme C : T → T défini sur C, on
introduit un isomorphisme C(˜ s) : T
j → T
(˜ s). Il est plus ou moins clair que l’on
peut le choisir tel que le diagramme suivant soit commutatif
T
ξj
→
T
j
C ↓
C(˜ s) ↓
T
ξ(˜ s)
→ T
(˜ s) .
On a déjà fixé une décomposition t
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ t
j provenant comme en 3.1 d’une
décomposition d’algèbres de Lie
g
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ g
(˜ s).
On déduit de cette dernière une décomposition
t
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ t
(˜ s).
Avec des notations compréhensibles au moins par l’auteur, on a alors le diagramme
Sym(t
θ )
Ξ(˜ s)
→
Sym(t
j )
C ↓
C(˜ s) ↓
Sym(t
θ )
Ξ(˜ s)
→ Sym(t
(˜ s))
qui est commutatif pour la même raison qu’en 4.2