IX.4. Propriétés locales
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où
B(X) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
B j (X),
D(X) = |ˇ α|
−1 [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
D j (X),
et φ est une fonction C
∞ au voisinage de 0 dans t
θ (R). Grâce à (7), on obtient
D(X) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ
(X)
˜
M , f),
où
γ
(X) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
transfert(δ j (X)).
D’après 4.4(1), on a γ
(X) = γ(X). Rappelons que cette distribution est
I
K ˜
M (exp(X)η, ω, .). Le point exp(X)η étant régulier dans ˜
G, l’induite de cette
distribution est I
K ˜
M (exp(X)η, ω, .). Alors D(X) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ). La formule (8) se récrit
I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = φ(X) + B(X).
Soit U ∈ Sym(t
θ ). Appliquons l’opérateur ∂ U . Pour tout j ∈ J, posons
B j (X, U ) =
˜
s∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1
∂ Ξ(˜ s,U ) S
˜
G
1 (˜ s),mod
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ),
où Ξ(˜ s) est l’homomorphisme Sym(t
θ ) → Sym(t
j ) de 3.1. Posons
B(X, U ) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
B j (X, U ).
On obtient alors
∂ U I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = ∂ U φ(X) + B(X, U ).
Appliquons cela à X = rH d pour un réel r non nul et proche de 0. On obtient
(9)
∂ U I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(rH d )η, ω, f ) = ∂ U φ(rH d ) + B(rH d , U).
Remarquons que, pour tout j ∈ J, la définition de B j (X, U ) et la formule 4.4(4)
conduisent à l’égalité
(10)
B j (rH d , U) =
˜
s∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))d(˜ s)
−1
∂ U˜ s S
˜
G
1 (˜ s),mod
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (rH d )) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ),
où on a posé U ˜
s = Ξ(˜ s, U ).