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Chapitre IX. Le cas archimédien
Par définition, le dernier terme ci-dessus est égal à i
˜
G
(˜ s)
˜
M
j
( j )
−1 . L’égalité (6) se
transforme en
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))i
˜
G
(˜ s)
˜
M
j
( j )|ˇ α(˜ s)| = m
−1
|ˇ α|i ˜
M
( ˜
t) ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)).
Le même calcul qu’en 4.2(4) montre que l’on a l’égalité
i
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s)) = i
˜
G
(˜ s)
˜
M
j
( j )
et on en déduit (5).
A l’aide de cette égalité (5), on récrit
D j (X, ˜
t) = m
−1
|ˇ α|
˜
s∈ ˜
t∈Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
( ˜
t) ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1
S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ).
Il est clair que, pour tout ˜
s, l’intégrale orbitale stable associée à exp(ξ j (X)) 1 (˜ s),
multipliée par Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1 , s’identifie à une unique distribution appartenant à D
st
g´ eom (M
( ˜
t)). C’est la distribution δ j (X)
M
( ˜
t) induite de la
distribution δ j (X) introduite en 4.4. L’égalité ci-dessus se récrit
D j (X, ˜
t) = m
−1
|ˇ α|I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
( ˜
t), δ j (X)
M
( ˜
t) , f).
Nos distributions sont à support ˜
G-équisingulier. On peut donc récrire
D j (X, ˜
t) = m
−1
|ˇ α|I
K ˜
G,E
K ˜
M
(transfert(δ j (X)
M
( ˜
t) ), f).
Ou encore, en utilisant la commutation du transfert à l’induction,
D j (X, ˜
t) = m
−1
|ˇ α|I
K ˜
G,E
K ˜
M
(transfert(δ j (X))
˜
M , f).
Ceci est indépendant de ˜
t. Alors D j (X) est la même expression, multipliée par le
nombre d’éléments de la sommation en ˜
t, lequel n’est autre que m. D’où
(7)
D j (X) = |ˇ α|I
K ˜
G,E
K ˜
M
(transfert(δ j (X))
˜
M , f).
Reprenons les formules (1) et (4). On obtient
(8)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = φ(X) + B(X) − |ˇ α| log(|α(X)|)D(X),