IX.4. Propriétés locales
1051
Cette suite s’insère dans un diagramme
1
1
1
↑
↑
↑
1 → K 2 → Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ
→
Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
/Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R
→ 1
↑
↑
↑
1 → K 1 → Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
→
Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
/Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R
→ 1
↑
↑
↑
1 → K 3 → Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R /Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R
→ 1 .
↑
↑
↑
1
1
1
Les groupes K 2 et K 3 sont définis de sorte que les suites horizontales soient exactes.
Les deux suites verticales de droite sont exactes. Donc aussi celle de gauche. D’où
l’égalité
|K 1 | = |K 2 ||K 3 |.
Par définition, |K 3 |
−1 = i ˜
M
( ˜
t) ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)). D’où les égalités
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = |K 1 |
−1 = |K 2 |
−1 i ˜
M
( ˜
t) ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)).
La première suite horizontale ci-dessus est formée de groupes finis. Donc |K 2 | est
le quotient du nombre d’éléments du groupe central de cette suite par le nombre
d’éléments du groupe de droite. Le nombre d’éléments du groupe central est m.
D’où l’égalité
(6)
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = m
−1 [Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
: Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R ]i ˜
M
( ˜
t) ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)).
On a introduit deux sous-groupes de Z( ˆ
M
j )
Γ R : les sous-groupes Z( ˆ
M
j )
ˆ
α(˜ s) et
Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
. On calcule la racine ˆ
α(˜ s) : les formules pour les racines dans les groupes
duaux sont identiques à celles pour les coracines dans les groupes sur R. A l’aide
des descriptions de 4.4, on obtient dans chaque cas
(a) ˆ
α(˜ s) = ˆ
β res , ˆ
α
= n α ˆ
β res (l’indice res désignant la restriction à ˆ
T
ˆ
θ,0 ) ;
(b) ˆ
α(˜ s) = ˆ
β res , ˆ
α
= 2n α ˆ
β res ;
(c) ˆ
α(˜ s) = 2 ˆ
β res , ˆ
α
= 2n α ˆ
β res ;
(d) ˆ
α(˜ s) =
1
2
ˆ
β res , ˆ
α
= n α ˆ
β res .
En comparant avec les formules données en 4.4 pour les coracines, on obtient
l’égalité
ˆ
α
= |ˇ α||ˇ α(˜ s)|
−1 ˆ
α(˜ s).
On a utilisé ici la compatibilité de nos différentes normes : elles proviennent de
formes quadratiques sur X ∗ (T
θ,0 ) ⊗ Z R, resp. X ∗ (T j ) ⊗ Z R, qui se correspondent
par l’isomorphisme naturel entre ces espaces. On déduit de ces calculs l’égalité
[Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
: Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R ] = |ˇ α||ˇ α(˜ s)|
−1 [Z( ˆ
M
j )
ˆ
α(˜ s) : Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R ].
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Cette suite s’insère dans un diagramme
1
1
1
↑
↑
↑
1 → K 2 → Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ
→
Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
/Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R
→ 1
↑
↑
↑
1 → K 1 → Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
→
Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
/Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R
→ 1
↑
↑
↑
1 → K 3 → Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R /Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R
→ 1 .
↑
↑
↑
1
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Les groupes K 2 et K 3 sont définis de sorte que les suites horizontales soient exactes.
Les deux suites verticales de droite sont exactes. Donc aussi celle de gauche. D’où
l’égalité
|K 1 | = |K 2 ||K 3 |.
Par définition, |K 3 |
−1 = i ˜
M
( ˜
t) ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)). D’où les égalités
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = |K 1 |
−1 = |K 2 |
−1 i ˜
M
( ˜
t) ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)).
La première suite horizontale ci-dessus est formée de groupes finis. Donc |K 2 | est
le quotient du nombre d’éléments du groupe central de cette suite par le nombre
d’éléments du groupe de droite. Le nombre d’éléments du groupe central est m.
D’où l’égalité
(6)
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = m
−1 [Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
: Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R ]i ˜
M
( ˜
t) ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)).
On a introduit deux sous-groupes de Z( ˆ
M
j )
Γ R : les sous-groupes Z( ˆ
M
j )
ˆ
α(˜ s) et
Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
. On calcule la racine ˆ
α(˜ s) : les formules pour les racines dans les groupes
duaux sont identiques à celles pour les coracines dans les groupes sur R. A l’aide
des descriptions de 4.4, on obtient dans chaque cas
(a) ˆ
α(˜ s) = ˆ
β res , ˆ
α
= n α ˆ
β res (l’indice res désignant la restriction à ˆ
T
ˆ
θ,0 ) ;
(b) ˆ
α(˜ s) = ˆ
β res , ˆ
α
= 2n α ˆ
β res ;
(c) ˆ
α(˜ s) = 2 ˆ
β res , ˆ
α
= 2n α ˆ
β res ;
(d) ˆ
α(˜ s) =
1
2
ˆ
β res , ˆ
α
= n α ˆ
β res .
En comparant avec les formules données en 4.4 pour les coracines, on obtient
l’égalité
ˆ
α
= |ˇ α||ˇ α(˜ s)|
−1 ˆ
α(˜ s).
On a utilisé ici la compatibilité de nos différentes normes : elles proviennent de
formes quadratiques sur X ∗ (T
θ,0 ) ⊗ Z R, resp. X ∗ (T j ) ⊗ Z R, qui se correspondent
par l’isomorphisme naturel entre ces espaces. On déduit de ces calculs l’égalité
[Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
: Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R ] = |ˇ α||ˇ α(˜ s)|
−1 [Z( ˆ
M
j )
ˆ
α(˜ s) : Z( ˆ
M
( ˜
t))
Γ R ].