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Chapitre IX. Le cas archimédien
où φ j est une fonction C
∞ en X = 0,
B j (X) =
˜
s∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1
S
˜
G
1 (˜ s),mod
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ),
D j (X) =
˜
s∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))i
˜
G
(˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 )|ˇ α(˜ s)|
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1
S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ).
On récrit
D j (X) =
˜
t∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) ˆ
α ∗ /Z( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ
D j (X, ˜
t),
où D j (X, ˜
t) est la sous-somme de l’expression précédente sur l’ensemble des ˜
s ∈
˜
tZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ .
Fixons ˜
t ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ . Cet élément détermine une donnée endoscopique M
( ˜
t) de (M , ˜
M , a), qui est elliptique comme on l’a dit en 4.4. Soit
˜
s ∈ ˜
tZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ . Alors l’espace ˜
M
1 (˜ s) fait partie de données auxiliaires
pour cette donnée M
( ˜
t). Posons
m = [Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ : Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ ].
Montrons que
(5)
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))i
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s))|ˇ α(˜ s)| = m
−1 i ˜
M
( ˜
t) ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))|ˇ α|.
Rappelons que i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau K 1 de
l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
j )
Γ R /Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R .
Rappelons qu’un sous-tore maximal de ˆ
M
j s’identifie à ˆ
T
ˆ
θ,0 . Notons ˆ
α
la restriction à ce tore de N ( ˆ
β) si β est de type 1 ou 3, de 2N ( ˆ
β) si β est de type 2. Notons
Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
le groupe des x ∈ Z( ˆ
M
j )
Γ R tels que ˆ
α
(x) = 1.
Alors Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ est l’image réciproque par l’homomorphisme précédent du groupe Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
/Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R . On a donc une suite exacte
1 → K 1 → Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗
/Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
j )
ˆ
α
/Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R → 1.