IX.4. Propriétés locales
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On a donc
(2)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
j , δ j (X), f) =
˜
s∈ ˜
ζj Z( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M
j
( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1 S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ).
Soit ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ , supposons d’abord ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ . Alors
G
(˜ s) j est un tore et j est régulier dans ˜
G
(˜ s). Il en résulte que la fonction
X → Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1 S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) )
est C
∞ au voisinage de 0. Supposons maintenant ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ . Le
groupe G
(˜ s) j ,SC = M
(˜ s) j ,SC est isomorphe à SL(2). On peut introduire l’intégrale orbitale pondérée stable modifiée
(3) S
˜
G
1 (˜ s),mod
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) ) = S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), f
˜
G
1 (˜ s) )
+i
˜
G
(˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 )|ˇ α(˜ s)| log(|α(˜ s)(ξ j (X))|)S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 , f
˜
G
1 (˜ s) ).
D’après les formules de 4.4, on a α(˜ s)(ξ j (X)) = n(˜ s)β(X) = n(˜ s)α(X), où n(˜ s) =
n β ou 2n β selon le cas. Donc log(|α(˜ s)(ξ j (X))|) = log(n(˜ s))+log(|α(X)|). Le point
j , considéré comme un élément de ˜
M
(˜ s; R), est ˜
G
(˜ s)-équisingulier. Il existe donc
une fonction ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
M
1 (˜ s, R)) telle que
S
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),λ1(˜ s)
(exp(ξ j (X)) 1 , f
˜
G
1 (˜ s) ) = S
˜
M
1 (˜ s)
λ1(˜ s) (exp(ξ j (X)) 1 , ϕ)
pour tout X proche de 0. L’élément j n’est pas régulier dans ˜
M (˜ s), mais la
seule racine de T
j singulière en j est «réelle». Comme on le sait, cela entraîne que
l’intégrale orbitale de droite ci-dessus est C
∞ pour X proche de 0. Donc remplacer
log(|α(˜ s)(ξ j (X))|) par log(|α(X)|) dans la formule (3) modifie le membre de droite
par une fonction C
∞ au voisinage de X = 0. Le facteur de transfert
X → Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1
est lui aussi C
∞ au voisinage de 0. En effet, exp(X)η appartenant à ˜
M (R), il s’agit
d’un facteur de transfert pour une donnée auxiliaire de la donnée endoscopique
M
j . Il est C
∞ car η est régulier dans ˜
M (R). Ces considérations transforment
l’expression (2) sous la forme suivante.
(4)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
j , δ j (X), f) = φ j (X) + B j (X) − log(|α(X)|)D j (X)