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Chapitre IX. Le cas archimédien
des couples d’éléments qui se correspondent. De l’homomorphisme ξ j : T → T
j
se déduit un homomorphisme ξ j : z(G η ) → z(G
(˜ s) j ). La relation [V] 4.1(1) se
traduit par l’existence d’une constante non nulle d(˜ s) vérifiant la condition suivante. Soit X sc ∈ g η,SC (R) un élément régulier. On le transfère en un élément
¯
X sc ∈ ¯ g
(¯ s)(R) et on transfère celui-ci en un élément X
sc ∈ g
(˜ s) j ,SC (R). On
suppose ces éléments proches de 0. Soit Z ∈ z(G η , R) en position générale. Alors
(4)
lim
Z→0
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (Z) + X
sc ) 1 (˜ s), exp(Z + X sc )η) = d(˜ s).
Plus généralement, soit p ∈ Π et y ∈ Y p (η). L’application φ
−1
p ◦ ad y −1 se restreint
en un torseur intérieur de G η sur G η[y] . Il se restreint en un isomorphisme défini sur
R de z(G η ) sur z(G η[y] ). On note Z → Z[y] cet isomorphisme. Le groupe G η[y],SC
n’est plus en général isomorphe à SL(2), c’en est une forme intérieure. La donnée
¯
G
(¯ s) est encore la donnée endoscopique maximale de G η[y],SC . On peut prendre
pour cette donnée le facteur de transfert qui vaut 1 sur tout couple d’éléments qui
se correspondent. La relation [V] 4.1(1) implique l’existence d’une constante non
nulle d(˜ s, y) vérifiant la condition suivante. Soit X sc [y] ∈ g η[y],SC (R) un élément
régulier. On le transfère en un élément ¯
X sc ∈ ¯
g
(¯ s)(R) et on transfère celui-ci
en un élément X
sc ∈ g
(˜ s) j ,SC (R). On suppose ces éléments proches de 0. Soit
Z ∈ z(G η , R) en position générale. Alors
(5)
lim
Z→0
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (Z) + X
sc ) 1 (˜ s), exp(Z[y] + X sc [y])η) = d(˜ s, y).
La constante d(˜ s) introduite ci-dessus n’est autre que d(˜ s, 1).
On a introduit au début du paragraphe des données auxiliaires M
j,1 ,. . .,Δ j,1 .
On peut prendre pour celles-ci les données M
1 (˜ s),. . .,Δ 1 (˜ s) (quant à Δ 1 (˜ s), il
s’agit plutôt ici de la restriction de ce facteur de transfert aux couples d’éléments
de ˜
M
1 (˜ s, R)× ˜
M (R) qui se correspondent). Dans le cas où y ∈ ˙
Y
M (η), la constante
d j (y) définie plus haut n’est autre que d(˜ s, y)d(˜ s, 1)
−1 . Elle est indépendante du
choix de ˜
s.
IX.4.5 Preuve de la proposition 4.3
Soit X ∈ t
θ (R) ∩ g η,reg (R). Considérons la formule 4.4(1). Toutes les distributions
y intervenant sont ˜
G-équisingulières. On a alors par définition
(1)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ(X), f)
= [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
j , δ j (X), f)
pour tout f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)).
Fixons j ∈ J et utilisons les notations introduites dans le paragraphe précédent. Pour tout ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ , la distribution δ j (X) s’identifie à
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1 S
˜
M
1 (˜ s)
λ1(˜ s) (exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), .).
Chapitre IX. Le cas archimédien
des couples d’éléments qui se correspondent. De l’homomorphisme ξ j : T → T
j
se déduit un homomorphisme ξ j : z(G η ) → z(G
(˜ s) j ). La relation [V] 4.1(1) se
traduit par l’existence d’une constante non nulle d(˜ s) vérifiant la condition suivante. Soit X sc ∈ g η,SC (R) un élément régulier. On le transfère en un élément
¯
X sc ∈ ¯ g
(¯ s)(R) et on transfère celui-ci en un élément X
sc ∈ g
(˜ s) j ,SC (R). On
suppose ces éléments proches de 0. Soit Z ∈ z(G η , R) en position générale. Alors
(4)
lim
Z→0
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (Z) + X
sc ) 1 (˜ s), exp(Z + X sc )η) = d(˜ s).
Plus généralement, soit p ∈ Π et y ∈ Y p (η). L’application φ
−1
p ◦ ad y −1 se restreint
en un torseur intérieur de G η sur G η[y] . Il se restreint en un isomorphisme défini sur
R de z(G η ) sur z(G η[y] ). On note Z → Z[y] cet isomorphisme. Le groupe G η[y],SC
n’est plus en général isomorphe à SL(2), c’en est une forme intérieure. La donnée
¯
G
(¯ s) est encore la donnée endoscopique maximale de G η[y],SC . On peut prendre
pour cette donnée le facteur de transfert qui vaut 1 sur tout couple d’éléments qui
se correspondent. La relation [V] 4.1(1) implique l’existence d’une constante non
nulle d(˜ s, y) vérifiant la condition suivante. Soit X sc [y] ∈ g η[y],SC (R) un élément
régulier. On le transfère en un élément ¯
X sc ∈ ¯
g
(¯ s)(R) et on transfère celui-ci
en un élément X
sc ∈ g
(˜ s) j ,SC (R). On suppose ces éléments proches de 0. Soit
Z ∈ z(G η , R) en position générale. Alors
(5)
lim
Z→0
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (Z) + X
sc ) 1 (˜ s), exp(Z[y] + X sc [y])η) = d(˜ s, y).
La constante d(˜ s) introduite ci-dessus n’est autre que d(˜ s, 1).
On a introduit au début du paragraphe des données auxiliaires M
j,1 ,. . .,Δ j,1 .
On peut prendre pour celles-ci les données M
1 (˜ s),. . .,Δ 1 (˜ s) (quant à Δ 1 (˜ s), il
s’agit plutôt ici de la restriction de ce facteur de transfert aux couples d’éléments
de ˜
M
1 (˜ s, R)× ˜
M (R) qui se correspondent). Dans le cas où y ∈ ˙
Y
M (η), la constante
d j (y) définie plus haut n’est autre que d(˜ s, y)d(˜ s, 1)
−1 . Elle est indépendante du
choix de ˜
s.
IX.4.5 Preuve de la proposition 4.3
Soit X ∈ t
θ (R) ∩ g η,reg (R). Considérons la formule 4.4(1). Toutes les distributions
y intervenant sont ˜
G-équisingulières. On a alors par définition
(1)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ(X), f)
= [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
j , δ j (X), f)
pour tout f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)).
Fixons j ∈ J et utilisons les notations introduites dans le paragraphe précédent. Pour tout ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ , la distribution δ j (X) s’identifie à
Δ 1 (˜ s)(exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), exp(X)η)
−1 S
˜
M
1 (˜ s)
λ1(˜ s) (exp(ξ j (X)) 1 (˜ s), .).