IX.4. Propriétés locales
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(a) β de type 1 et N ( ˆ
β)(s) = 1 ;
(b) β de type 2 et N ( ˆ
β)(s) = 1 :
(c) β de type 2 et N ( ˆ
β)(s) = −1 ;
(d) β de type 3 et N ( ˆ
β)(s) = 1.
L’unique racine α(˜ s) et l’unique coracine ˇ
α(˜ s) de G
(˜ s) j (au signe près) se
décrivent dans chacun des cas de la façon suivante :
(a) α(˜ s) ◦ ξ j = N (β), ˇ
α(˜ s) = ξ j ◦ ˇ
β ;
(b) α(˜ s) ◦ ξ j = 2N (β), ˇ
α(˜ s) = ξ j ◦ ˇ
β ;
(c) α(˜ s) ◦ ξ j = N (β), ˇ
α(˜ s) = 2ξ j ◦ ˇ
β ;
(d) α(˜ s) ◦ ξ j = 2N (β), ˇ
α(˜ s) =
1
2 ξ j ◦ ˇ
β.
Puisque β se restreint en un élément non nul de X ∗ (A ˜
M ), N ˆ
β se restreint en
un caractère non trivial de Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ,0 . Quitte à multiplier ˜
ζ j par un élément de ce
groupe, on peut supposer N ( ˆ
β)(ζ j ) = 1. Posons ˆ
α
∗ = N ( ˆ
β) si β est de type 1 ou 3,
ˆ
α
∗ = 2N ( ˆ
β) si β est de type 2. Notons Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ l’ensemble des t ∈ Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ tels
que ˆ
α
∗ (t) = 1. Pour ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ , le groupe G
(˜ s) j est de rang semisimple 1 si et seulement si ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ . Supposons cette condition
vérifiée. Le groupe G
(˜ s) j ,SC est isomorphe à SL(2). Remarquons que, puisque
β res est fixe par Γ R , il en est de même de la racine α(˜ s) de G
(˜ s) j . On note ˜
M
(˜ s)
l’espace de Levi de ˜
G
(˜ s) tel que A ˜
M
(˜ s) soit le noyau de la racine α(˜ s) vue comme
forme linéaire sur A ˜
M
j
. On note ˜
M
1 (˜ s) son image réciproque dans ˜
G
1 (˜ s). On voit
que ˜
M
(˜ s) n’est autre que l’espace endoscopique de la donnée endoscopique M
(˜ s)
de (M , ˜
M , a) associée à ˜
s. Cette donnée est elliptique. En effet, on a les inclusions
A ˜
M ⊂ A ˜
M
(˜ s) A ˜
M
j
= A ˜
M .
Puisque la différence des dimensions des deux espaces extrêmes est 1, la première
inclusion est une égalité, ce qui prouve l’ellipticité. D’autre part, d’après la définition de ˜
M
(˜ s), on a M
(˜ s) j = G
(˜ s) j .
Soit ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ . Utilisons la théorie locale rappelée en [III] section 5. On
introduit la donnée endoscopique ¯
G
(¯ s) du groupe G η,SC .
La paire ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) j ,SC ) se complète en un triplet endoscopique non
standard. Mais on sait que G η,SC et G
(˜ s) j ,SC sont tous deux isomorphes à SL(2).
Il en résulte que ¯
G
(¯ s) est lui-même simplement connexe et isomorphe à SL(2).
Le triplet endoscopique non standard est équivalent à un triplet «trivial». Notons toutefois que l’isomorphisme j ∗ entre les algèbres de Lie des tores déployés
maximaux de ces groupes est en général un multiple de l’isomorphisme naturel
entre ces deux algèbres (la notation j ∗ se réfère à [III] 6.1, elle n’a rien à voir avec
notre élément j ∈ J). La donnée ¯
G
(¯ s) est la donnée endoscopique maximale de
G η,SC . On peut prendre pour cette donnée le facteur de transfert qui vaut 1 sur
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(a) β de type 1 et N ( ˆ
β)(s) = 1 ;
(b) β de type 2 et N ( ˆ
β)(s) = 1 :
(c) β de type 2 et N ( ˆ
β)(s) = −1 ;
(d) β de type 3 et N ( ˆ
β)(s) = 1.
L’unique racine α(˜ s) et l’unique coracine ˇ
α(˜ s) de G
(˜ s) j (au signe près) se
décrivent dans chacun des cas de la façon suivante :
(a) α(˜ s) ◦ ξ j = N (β), ˇ
α(˜ s) = ξ j ◦ ˇ
β ;
(b) α(˜ s) ◦ ξ j = 2N (β), ˇ
α(˜ s) = ξ j ◦ ˇ
β ;
(c) α(˜ s) ◦ ξ j = N (β), ˇ
α(˜ s) = 2ξ j ◦ ˇ
β ;
(d) α(˜ s) ◦ ξ j = 2N (β), ˇ
α(˜ s) =
1
2 ξ j ◦ ˇ
β.
Puisque β se restreint en un élément non nul de X ∗ (A ˜
M ), N ˆ
β se restreint en
un caractère non trivial de Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ,0 . Quitte à multiplier ˜
ζ j par un élément de ce
groupe, on peut supposer N ( ˆ
β)(ζ j ) = 1. Posons ˆ
α
∗ = N ( ˆ
β) si β est de type 1 ou 3,
ˆ
α
∗ = 2N ( ˆ
β) si β est de type 2. Notons Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ l’ensemble des t ∈ Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ tels
que ˆ
α
∗ (t) = 1. Pour ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ , le groupe G
(˜ s) j est de rang semisimple 1 si et seulement si ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ . Supposons cette condition
vérifiée. Le groupe G
(˜ s) j ,SC est isomorphe à SL(2). Remarquons que, puisque
β res est fixe par Γ R , il en est de même de la racine α(˜ s) de G
(˜ s) j . On note ˜
M
(˜ s)
l’espace de Levi de ˜
G
(˜ s) tel que A ˜
M
(˜ s) soit le noyau de la racine α(˜ s) vue comme
forme linéaire sur A ˜
M
j
. On note ˜
M
1 (˜ s) son image réciproque dans ˜
G
1 (˜ s). On voit
que ˜
M
(˜ s) n’est autre que l’espace endoscopique de la donnée endoscopique M
(˜ s)
de (M , ˜
M , a) associée à ˜
s. Cette donnée est elliptique. En effet, on a les inclusions
A ˜
M ⊂ A ˜
M
(˜ s) A ˜
M
j
= A ˜
M .
Puisque la différence des dimensions des deux espaces extrêmes est 1, la première
inclusion est une égalité, ce qui prouve l’ellipticité. D’autre part, d’après la définition de ˜
M
(˜ s), on a M
(˜ s) j = G
(˜ s) j .
Soit ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
ˆ
α
∗ . Utilisons la théorie locale rappelée en [III] section 5. On
introduit la donnée endoscopique ¯
G
(¯ s) du groupe G η,SC .
La paire ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) j ,SC ) se complète en un triplet endoscopique non
standard. Mais on sait que G η,SC et G
(˜ s) j ,SC sont tous deux isomorphes à SL(2).
Il en résulte que ¯
G
(¯ s) est lui-même simplement connexe et isomorphe à SL(2).
Le triplet endoscopique non standard est équivalent à un triplet «trivial». Notons toutefois que l’isomorphisme j ∗ entre les algèbres de Lie des tores déployés
maximaux de ces groupes est en général un multiple de l’isomorphisme naturel
entre ces deux algèbres (la notation j ∗ se réfère à [III] 6.1, elle n’a rien à voir avec
notre élément j ∈ J). La donnée ¯
G
(¯ s) est la donnée endoscopique maximale de
G η,SC . On peut prendre pour cette donnée le facteur de transfert qui vaut 1 sur