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Chapitre IX. Le cas archimédien
rapport
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) j,1 , exp(X[y])η[y])
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , exp(X)η)
.
Puisque exp(ξ j (X))η[y] et exp(X)η sont stablement conjugués, cette conjugaison
stable étant réalisée par l’élément y qui est indépendant de X, il résulte de [48]
théorème 5.1.D(1) que ce rapport est d’une part indépendant de X, d’autre part
indépendant des données auxiliaires M
j,1 ,. . .,Δ j,1 . On le note d j (y). On obtient
(2) transfert(δ j (X)) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1 d j (y)γ(X, y).
On peut évidemment supposer que notre ensemble ˙
Y
M ( ˜
T ) contient l’élément y =
1. En comparant les formules (1) et (2), on obtient pour y ∈ ˙
Y
M ( ˜
T ) l’égalité
(3)
|J|
−1
j∈J
d j (y) =
1, si y = 1,
0, si y = 1.
Fixons j ∈ J. On note M
j = (M
j , M
j , ˜
ζ j ). Pour ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ ,
on introduit des données supplémentaires G
1 (˜ s),. . .,Δ 1 (˜ s) pour la donnée endoscopique G
(˜ s). On fixe un point 1 (˜ s) au-dessus de j et on note ˜
M
1 (˜ s) et ˜
T
1 (˜ s)
les images réciproques de ˜
M
j et ˜
T
j dans ˜
G
1 (˜ s). On fixe aussi une décomposition
t
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ t
j
selon la recette de 3.1. On a fixé une paire de Borel épinglée ˆ
E de ˆ
G, dont on a noté
le tore ˆ
T . On peut supposer ˜
ζ j = ζ j ˆ
θ et on écrit tout élément ˜
s sous la forme s ˆ
θ.
On a fixé un diagramme ( j , B
j , T
j , B
M , T, η) reliant j et η, d’espaces ambiants
˜
M et ˜
M
j . On a aussi fixé un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ). Notons B le sous-groupe de Borel
de G tel que B ⊂ P et B ∩ M = B
M . On vérifie que le diagramme s’étend pour
tout ˜
s en un diagramme ( j , B
(˜ s), T
j , B, T, η), d’espaces ambiants ˜
G et ˜
G
(˜ s).
On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée E de G. On fixe un élément
e ∈ Z( ˜
G, E) et on écrit η = νe, avec ν ∈ T . Le groupe G η a une unique racine (au
signe près) que l’on a notée α. C’est un élément de X
∗ (T
θ,0 ). Rappelons que l’on
note Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans G. Introduisons un élément β ∈ Σ(T )
dont la restriction β res à T
θ,0 soit α. La coracine ˇ
α est alors N ( ˇ
β) si β est de type
1 ou 3, 2N ( ˇ
β) si β est de type 2. D’après [79] 3.3, l’ensemble des racines de G η
est formé des β
res , pour β
∈ Σ(T ) tels que N (β
)(ν) = 1 si β
est de type 1 ou 2,
N (β
)(ν) = −1 si β
est de type 3. Notre hypothèse est donc que cet ensemble de
racines se réduit aux racines de la forme ±θ
k (β) pour k ∈ N. Il correspond à β une
racine ˆ
β de ˆ
T . De la description de l’ensemble de racines de G
(˜ s) j donnée en [79]
3.3 se déduisent les résultats suivants. Le groupe G
(˜ s) j est un tore ou de rang
semi-simple 1. Il est de rang semi-simple 1 si et seulement si l’une des conditions
suivantes est vérifiée :
Chapitre IX. Le cas archimédien
rapport
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) j,1 , exp(X[y])η[y])
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , exp(X)η)
.
Puisque exp(ξ j (X))η[y] et exp(X)η sont stablement conjugués, cette conjugaison
stable étant réalisée par l’élément y qui est indépendant de X, il résulte de [48]
théorème 5.1.D(1) que ce rapport est d’une part indépendant de X, d’autre part
indépendant des données auxiliaires M
j,1 ,. . .,Δ j,1 . On le note d j (y). On obtient
(2) transfert(δ j (X)) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1 d j (y)γ(X, y).
On peut évidemment supposer que notre ensemble ˙
Y
M ( ˜
T ) contient l’élément y =
1. En comparant les formules (1) et (2), on obtient pour y ∈ ˙
Y
M ( ˜
T ) l’égalité
(3)
|J|
−1
j∈J
d j (y) =
1, si y = 1,
0, si y = 1.
Fixons j ∈ J. On note M
j = (M
j , M
j , ˜
ζ j ). Pour ˜
s ∈ ˜
ζ j Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ ,
on introduit des données supplémentaires G
1 (˜ s),. . .,Δ 1 (˜ s) pour la donnée endoscopique G
(˜ s). On fixe un point 1 (˜ s) au-dessus de j et on note ˜
M
1 (˜ s) et ˜
T
1 (˜ s)
les images réciproques de ˜
M
j et ˜
T
j dans ˜
G
1 (˜ s). On fixe aussi une décomposition
t
1 (˜ s) = c 1 (˜ s) ⊕ t
j
selon la recette de 3.1. On a fixé une paire de Borel épinglée ˆ
E de ˆ
G, dont on a noté
le tore ˆ
T . On peut supposer ˜
ζ j = ζ j ˆ
θ et on écrit tout élément ˜
s sous la forme s ˆ
θ.
On a fixé un diagramme ( j , B
j , T
j , B
M , T, η) reliant j et η, d’espaces ambiants
˜
M et ˜
M
j . On a aussi fixé un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ). Notons B le sous-groupe de Borel
de G tel que B ⊂ P et B ∩ M = B
M . On vérifie que le diagramme s’étend pour
tout ˜
s en un diagramme ( j , B
(˜ s), T
j , B, T, η), d’espaces ambiants ˜
G et ˜
G
(˜ s).
On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée E de G. On fixe un élément
e ∈ Z( ˜
G, E) et on écrit η = νe, avec ν ∈ T . Le groupe G η a une unique racine (au
signe près) que l’on a notée α. C’est un élément de X
∗ (T
θ,0 ). Rappelons que l’on
note Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans G. Introduisons un élément β ∈ Σ(T )
dont la restriction β res à T
θ,0 soit α. La coracine ˇ
α est alors N ( ˇ
β) si β est de type
1 ou 3, 2N ( ˇ
β) si β est de type 2. D’après [79] 3.3, l’ensemble des racines de G η
est formé des β
res , pour β
∈ Σ(T ) tels que N (β
)(ν) = 1 si β
est de type 1 ou 2,
N (β
)(ν) = −1 si β
est de type 3. Notre hypothèse est donc que cet ensemble de
racines se réduit aux racines de la forme ±θ
k (β) pour k ∈ N. Il correspond à β une
racine ˆ
β de ˆ
T . De la description de l’ensemble de racines de G
(˜ s) j donnée en [79]
3.3 se déduisent les résultats suivants. Le groupe G
(˜ s) j est un tore ou de rang
semi-simple 1. Il est de rang semi-simple 1 si et seulement si l’une des conditions
suivantes est vérifiée :