IX.4. Propriétés locales
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Tous les termes sont continus en un point exp(X)η qui est seulement régulier dans
˜
M (et non fortement régulier). Or, puisque η lui-même est régulier dans ˜
M , c’est
le cas de tout exp(X)η pour X voisin de 0. La formule ci-dessus est donc vérifiée
en tout X proche de 0.
On peut traduire cette formule de la façon suivante. Notons γ(X) la distribution I
K ˜
M (exp(X)η, ω, .) et, pour tout j, δ j (X) l’élement de D
st
g´ eom (M
j ) à laquelle
s’identifie la distribution S
˜
M
j,1
λj,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , .), multipliée par
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , exp(X)η)
−1 .
Remarquons que cette distribution est indépendante des données auxiliaires
M
j,1 ,. . .,Δ j,1 . Alors
(1)
γ(X) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
transfert(δ j (X)).
Pour tout élément semi-simple γ ∈ ˜
G(R) et tout p ∈ Π, on note Y p (γ)
l’ensemble des y ∈ G tels que y∇ p (σ)σ(y)
−1
∈ I γ pour tout σ ∈ Γ R (on rappelle
que I γ = Z(G)
θ G γ ). Pour y dans cet ensemble, on pose γ[y] = ˜
φ
−1
p (y
−1 γy).
Alors γ[y] ∈ ˜
G p (R). On fixe un ensemble de représentants ˙
Y p (γ) de l’ensemble
des doubles classes I γ \Y p (γ)/φ p (G p (R)). On note Y(γ), resp. ˙
Y(γ), la réunion
disjointe des Y p (γ), resp. ˙
Y p (γ), pour p ∈ Π. Si γ est fortement régulier, l’ensemble
{γ[y]; y ∈ ˙
Y(γ)} est un ensemble de représentants des classes de conjugaison dans
la classe de conjugaison stable de γ. Si ˜
L est un espace de Levi de ˜
G, composante
connexe d’un K-espace de Levi K ˜
L de K ˜
G, et si γ ∈ ˜
L(R), on peut effectuer les
mêmes constructions en remplaçant K ˜
G par K ˜
L. On affecte d’un exposant L les
objets obtenus, par exemple ˙
Y
L (γ).
Soit comme ci-dessus X ∈ t
θ (R) proche de 0 et tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
M (F ). On a I
M
exp(X)η = T
θ . Les définitions des ensembles
˙
Y
M (exp(X)η) et ˙
Y
M
p (exp(X)η) ne dépendent que de ce groupe. On peut donc
les choisir indépendants de X et on les note plutôt ˙
Y
M ( ˜
T ) et ˙
Y
M
p ( ˜
T ). Soient
p ∈ Π
M et y ∈ Y
M
p ( ˜
T ). On pose ˜
T [y] = ˜
φ
−1
p ◦ ad y −1 ( ˜
T ), η[y] = ˜
φ
−1
p ◦ ad y −1 (η),
X[y] = φ
−1
p ◦ ad y −1 (X). Pour j ∈ J, notons δ
j (X) l’élement de D
st
g´ eom (M
j ) à
laquelle s’identifie la distribution S
˜
M
j,1
λj,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , .). La formule d’inversion
[I] 4.9(4) se traduit par
transfert(δ
j (X)) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) j,1 , exp(X[y])η[y])γ(X, y),
où γ(X, y) est la distribution I
K ˜
M (exp(X[y])η[y], ω, .). Pour obtenir le transfert
de δ j (X), il suffit de diviser par Δ j,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , exp(X)η). Considérons le
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Tous les termes sont continus en un point exp(X)η qui est seulement régulier dans
˜
M (et non fortement régulier). Or, puisque η lui-même est régulier dans ˜
M , c’est
le cas de tout exp(X)η pour X voisin de 0. La formule ci-dessus est donc vérifiée
en tout X proche de 0.
On peut traduire cette formule de la façon suivante. Notons γ(X) la distribution I
K ˜
M (exp(X)η, ω, .) et, pour tout j, δ j (X) l’élement de D
st
g´ eom (M
j ) à laquelle
s’identifie la distribution S
˜
M
j,1
λj,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , .), multipliée par
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , exp(X)η)
−1 .
Remarquons que cette distribution est indépendante des données auxiliaires
M
j,1 ,. . .,Δ j,1 . Alors
(1)
γ(X) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
transfert(δ j (X)).
Pour tout élément semi-simple γ ∈ ˜
G(R) et tout p ∈ Π, on note Y p (γ)
l’ensemble des y ∈ G tels que y∇ p (σ)σ(y)
−1
∈ I γ pour tout σ ∈ Γ R (on rappelle
que I γ = Z(G)
θ G γ ). Pour y dans cet ensemble, on pose γ[y] = ˜
φ
−1
p (y
−1 γy).
Alors γ[y] ∈ ˜
G p (R). On fixe un ensemble de représentants ˙
Y p (γ) de l’ensemble
des doubles classes I γ \Y p (γ)/φ p (G p (R)). On note Y(γ), resp. ˙
Y(γ), la réunion
disjointe des Y p (γ), resp. ˙
Y p (γ), pour p ∈ Π. Si γ est fortement régulier, l’ensemble
{γ[y]; y ∈ ˙
Y(γ)} est un ensemble de représentants des classes de conjugaison dans
la classe de conjugaison stable de γ. Si ˜
L est un espace de Levi de ˜
G, composante
connexe d’un K-espace de Levi K ˜
L de K ˜
G, et si γ ∈ ˜
L(R), on peut effectuer les
mêmes constructions en remplaçant K ˜
G par K ˜
L. On affecte d’un exposant L les
objets obtenus, par exemple ˙
Y
L (γ).
Soit comme ci-dessus X ∈ t
θ (R) proche de 0 et tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
M (F ). On a I
M
exp(X)η = T
θ . Les définitions des ensembles
˙
Y
M (exp(X)η) et ˙
Y
M
p (exp(X)η) ne dépendent que de ce groupe. On peut donc
les choisir indépendants de X et on les note plutôt ˙
Y
M ( ˜
T ) et ˙
Y
M
p ( ˜
T ). Soient
p ∈ Π
M et y ∈ Y
M
p ( ˜
T ). On pose ˜
T [y] = ˜
φ
−1
p ◦ ad y −1 ( ˜
T ), η[y] = ˜
φ
−1
p ◦ ad y −1 (η),
X[y] = φ
−1
p ◦ ad y −1 (X). Pour j ∈ J, notons δ
j (X) l’élement de D
st
g´ eom (M
j ) à
laquelle s’identifie la distribution S
˜
M
j,1
λj,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , .). La formule d’inversion
[I] 4.9(4) se traduit par
transfert(δ
j (X)) = d(θ
∗ )
1/2
y∈ ˙
Y M ( ˜
T )
[T [y]
θ (R) : T [y]
θ,0 (R)]
−1
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) j,1 , exp(X[y])η[y])γ(X, y),
où γ(X, y) est la distribution I
K ˜
M (exp(X[y])η[y], ω, .). Pour obtenir le transfert
de δ j (X), il suffit de diviser par Δ j,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , exp(X)η). Considérons le