1044
Chapitre IX. Le cas archimédien
IX.4.4 Formules d’inversion
On note ( ˜
G p ) p∈Π le K-espace K ˜
G et p 0 l’indice tel que ˜
G = ˜
G p0 . On pose simplement φ p = φ p0,p , ˜
φ p = ˜
φ p0,p , ∇ p = ∇ p0,p , cf. [I] 1.11. Les K-espaces K ˜
M et
K ˜
M sont indexés par des sous-ensembles Π
M
⊂ Π
M
⊂ Π. On peut supposer que,
pour p ∈ Π
M , resp. p ∈ Π
M , ∇ p prend ses valeurs dans M SC , resp. M SC , et
˜
φ p ( ˜
M p ) = ˜
M , resp. ˜
φ p ( ˜
M p ) = ˜
M . On fixe comme toujours une paire de Borel
épinglée ˆ
E de ˆ
G conservée par l’action galoisienne, dont on note le tore ˆ
T (pour
ce qui est des actions galoisiennes, il ne s’agit pas du tore dual de T ). On fixe un
élément ˜
P ∈ P( ˜
M ) et un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ) tels que ˜
P ⊂ ˜
P . A l’aide de ces
espaces paraboliques, on peut identifier les groupes duaux ˆ
M et ˆ
M à des Levi de
ˆ
G qui sont standard pour ˆ
E.
Pour tout élément semi-simple fortement régulier γ ∈ ˜
M (R), notons X
M (γ)
l’ensemble des couples (M
, δ), où M
est une donnée endoscopique elliptique de
(M, ˜
M , a) et δ ∈ ˜
M
(R) est un élément semi-simple (forcément fortement régulier)
qui correspond à γ. Deux tels couples (M
1 , δ 1 ) et (M
2 , δ 2 ) sont dits équivalents
s’il existe une équivalence entre M
1 et M
2 , à laquelle est associé un isomorphisme
˜ ι : ˜
M
1 → ˜
M
2 défini sur R, de sorte que δ 2 soit stablement conjugué à ˜ ι(δ 1 ). On
fixe un ensemble de représentants ˙
X
M (γ) des classes d’équivalence dans X
M (γ).
Considérons un élément X 0 ∈ t(R) proche de 0 tel que exp(X 0 )η soit fortement régulier dans ˜
M (R). On indexe ˙
X
M (exp(X 0 )η) par un ensemble fini J :
˙
X
M (exp(X 0 )η) = (M
j , δ j ) j∈J . On note T
j le commutant de δ j dans M
j et on
pose ˜
T
j = T
j δ j . Le choix d’un diagramme (δ j , B
j , T
j , B
M , T, exp(X 0 )η) détermine
un homomorphisme ξ j : T → T
j T /(1 − θ)(T ). Il s’étend en une application
compatible ˜
ξ j : ˜
T → ˜
T
j qui est définie sur R et vérifie ˜
ξ j (exp(X 0 )η) = δ j . On
pose j = ˜
ξ j (η). Alors ( j , B
j , T
j , B
M , T, η) est encore un diagramme. On vérifie que, pour tout X ∈ t(R) proche de 0 et tel que exp(X)η soit fortement
régulier dans ˜
M (R), on peut choisir pour ensemble ˙
X
M (exp(X)η) l’ensemble
(M
j , exp(ξ j (X)) j ) j∈J . On fixe pour tout j des données auxiliaires M
j,1 ,. . .,Δ j,1 ,
un élément j,1 ∈ ˜
M
j,1 (R) au-dessus de j et on note ˜
T
j,1 l’image réciproque de ˜
T
j
dans ˜
M
j,1 . On fixe aussi une décomposition
t
j,1 = c j,1 ⊕ t
j
selon la recette de 3.1. Rappelons que ˜
T est elliptique dans ˜
M . La formule d’inversion [I] 4.9(5) se traduit ainsi. Pour f ∈ C
∞
c (K ˜
M (R)), on a l’égalité
I
K ˜
M (exp(X)η, ω, f ) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , exp(X)η)
−1
S
˜
M
j,1
λj,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , f
˜
M
j,1 ).
Chapitre IX. Le cas archimédien
IX.4.4 Formules d’inversion
On note ( ˜
G p ) p∈Π le K-espace K ˜
G et p 0 l’indice tel que ˜
G = ˜
G p0 . On pose simplement φ p = φ p0,p , ˜
φ p = ˜
φ p0,p , ∇ p = ∇ p0,p , cf. [I] 1.11. Les K-espaces K ˜
M et
K ˜
M sont indexés par des sous-ensembles Π
M
⊂ Π
M
⊂ Π. On peut supposer que,
pour p ∈ Π
M , resp. p ∈ Π
M , ∇ p prend ses valeurs dans M SC , resp. M SC , et
˜
φ p ( ˜
M p ) = ˜
M , resp. ˜
φ p ( ˜
M p ) = ˜
M . On fixe comme toujours une paire de Borel
épinglée ˆ
E de ˆ
G conservée par l’action galoisienne, dont on note le tore ˆ
T (pour
ce qui est des actions galoisiennes, il ne s’agit pas du tore dual de T ). On fixe un
élément ˜
P ∈ P( ˜
M ) et un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ) tels que ˜
P ⊂ ˜
P . A l’aide de ces
espaces paraboliques, on peut identifier les groupes duaux ˆ
M et ˆ
M à des Levi de
ˆ
G qui sont standard pour ˆ
E.
Pour tout élément semi-simple fortement régulier γ ∈ ˜
M (R), notons X
M (γ)
l’ensemble des couples (M
, δ), où M
est une donnée endoscopique elliptique de
(M, ˜
M , a) et δ ∈ ˜
M
(R) est un élément semi-simple (forcément fortement régulier)
qui correspond à γ. Deux tels couples (M
1 , δ 1 ) et (M
2 , δ 2 ) sont dits équivalents
s’il existe une équivalence entre M
1 et M
2 , à laquelle est associé un isomorphisme
˜ ι : ˜
M
1 → ˜
M
2 défini sur R, de sorte que δ 2 soit stablement conjugué à ˜ ι(δ 1 ). On
fixe un ensemble de représentants ˙
X
M (γ) des classes d’équivalence dans X
M (γ).
Considérons un élément X 0 ∈ t(R) proche de 0 tel que exp(X 0 )η soit fortement régulier dans ˜
M (R). On indexe ˙
X
M (exp(X 0 )η) par un ensemble fini J :
˙
X
M (exp(X 0 )η) = (M
j , δ j ) j∈J . On note T
j le commutant de δ j dans M
j et on
pose ˜
T
j = T
j δ j . Le choix d’un diagramme (δ j , B
j , T
j , B
M , T, exp(X 0 )η) détermine
un homomorphisme ξ j : T → T
j T /(1 − θ)(T ). Il s’étend en une application
compatible ˜
ξ j : ˜
T → ˜
T
j qui est définie sur R et vérifie ˜
ξ j (exp(X 0 )η) = δ j . On
pose j = ˜
ξ j (η). Alors ( j , B
j , T
j , B
M , T, η) est encore un diagramme. On vérifie que, pour tout X ∈ t(R) proche de 0 et tel que exp(X)η soit fortement
régulier dans ˜
M (R), on peut choisir pour ensemble ˙
X
M (exp(X)η) l’ensemble
(M
j , exp(ξ j (X)) j ) j∈J . On fixe pour tout j des données auxiliaires M
j,1 ,. . .,Δ j,1 ,
un élément j,1 ∈ ˜
M
j,1 (R) au-dessus de j et on note ˜
T
j,1 l’image réciproque de ˜
T
j
dans ˜
M
j,1 . On fixe aussi une décomposition
t
j,1 = c j,1 ⊕ t
j
selon la recette de 3.1. Rappelons que ˜
T est elliptique dans ˜
M . La formule d’inversion [I] 4.9(5) se traduit ainsi. Pour f ∈ C
∞
c (K ˜
M (R)), on a l’égalité
I
K ˜
M (exp(X)η, ω, f ) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]|J|
−1 d(θ
∗ )
−1/2
j∈J
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , exp(X)η)
−1
S
˜
M
j,1
λj,1 (exp(ξ j (X)) 1,j , f
˜
M
j,1 ).