IX.4. Propriétés locales
1043
est nulle. On conclut que la limite quand r tend vers 0 de l’expression (21) est
nulle. C’est ce qu’affirme le (iv) de l’énoncé. Cela achève la démonstration.
IX.4.3 Sauts des intégrales orbitales pondérées endoscopiques
On conserve les hypothèses de 4.1, le triplet (G, ˜
G, a) étant de nouveau général. On
suppose que ˜
G est une composante connexe d’un K-espace K ˜
G et que les espaces
de Levi ˜
M et ˜
M sont des composantes connexes de K-espaces de Levi K ˜
M et
K ˜
G. Pour X ∈ t
θ (R) ∩ g η,reg (R) assez proche de 0, notons γ(X) la distribution
ϕ → I
K ˜
M (exp(X)η, ω, ϕ) pour ϕ ∈ C
∞
c (K ˜
M (R)). Parce que l’élément exp(X)η
de ˜
M (R) est ˜
G-équisingulier, γ(X) appartient à D g´ eom, ˜
G -équi (K ˜
M (R), ω). On a
défini en [V] 1.8 la distribution
f → I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ(X), f)
pour f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)). On note maintenant ce terme I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ). De
même, on définit I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ). On définit alors comme en 4.1 l’intégrale
modifiée
I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f )
+ |ˇ α| log(|α(X)|)I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ).
Proposition. Soient f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)).
(i) Pour tout U ∈ Sym(t
θ ), les limites
lim
r→0+
∂ U I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(rH d )η, ω, f ) et lim
r→0−
∂ U I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(rH d )η, ω, f )
existent.
(ii) Si w d (U ) = U , ces limites sont égales.
(iii) Pour tout U ∈ Sym(t
θ ), les limites
lim
r→0+
∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c )η, ω, f ) et
lim
r→0−
∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c )η, ω, f )
existent.
(iv) Soit U ∈ Sym(t
θ ), supposons w d (U ) = −U et posons U = C(U ). Alors on a
les égalités
lim
r→0+
∂ U I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(rH d )η, ω, f ) − lim
r→0−
∂ U I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(rH d )η, ω, f )
= 2
1+c(η) πi|ˇ α| lim
r→0+
∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c )η, ω, f )
= −2
1+c(η) πi|ˇ α| lim
r→0−
∂ U I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(rH c )η, ω, f ).
La preuve occupe les deux paragraphes suivants.